Wahrscheinlichkeitsrechnung benötige Rechenweg!

Question

Eine Gruppe von Jugendlichen ist mit 10 Mopeds zu einer Party unterwegs. 4 von diesen Mopeds sind „frisiert“, das heißt, es wurden nicht erlaubte technische Veränderungen vorgenommen um die Höchstgeschwindigkeit zu erhöhen. Prompt fahren die Jugendlichen in eine Kontrolle der Polizei. Die Polizei kontrolliert aus dieser Gruppe der Reihe nach 4 Mopeds.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen 4 Mopeds mindestens eines „frisiert“ ist?

Lösung :P( X≥1)=1 – P( X =0) P( X =0)= 6 10∗59 ∗48 ∗37 = 1 14≈0,0714 P(X ≥1)=13 14≈0,9286

Laut Statistik der Polizei sind im allgemeinen 30 % aller Mopeds unzulässig. Ein Polizist kontrolliert im Laufe eines Tages 8 Mopeds. (n = 8, p = 0,3) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei ... b1) auf genau 3 unzulässige Mopeds stößt? Lösung :P( X =3)=0,2541

!!!!!!!!!JETZT DIE FRAGE!!!!!! WIE KOMME ICH AUF DAS ERGEBNIS VON b2 : Lösung

b2) höchstens ein unzulässiges Moped erwischt? P( X ≤1)=P( X=0)+P( X=1) P( X =0)=0,0576 , P( X =1)=0,1977 P( X ≤1)=0,2553

Wie kommt man auf das Ergebnis von b2? Wie ist der genaue Rechenweg? Bitte helft mir

Answer 1

Laut Statistik der Polizei sind im allgemeinen 30 % aller Mopeds unzulässig. Ein Polizist kontrolliert im Laufe eines Tages 8 Mopeds. (n = 8, p = 0,3) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei ...

b2) höchstens ein unzulässiges Moped erwischt?

 

Nun, Die Wahrscheinlichkeit, höchstens ein  unzulässiges Moped zu erwischen, ist gleich  der Wahrscheinlichkeit, genau kein oder genau ein unzulässiges Moped zu erwischen, also:

P ( X ≤ 1 ) = P ( X = 0 ∨ X = 1 )

und das wiederum ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen Ereignisse, also:

= P ( X = 0 ) + P ( X = 1 )

Für die Berechnung dieser beiden Wahrscheinlichkeiten kann die Binomialverteilung

P ( X = k ) = B ( n , k , p ) = ( n über k ) * p ^k * ( 1 - p ) ^{n - k} 

verwendet werden.

Vorliegend ist n = 8 und p = 0,3, also:

P ( X = 0 ) = B ( n = 8 , k = 0 , p = 0,3 )

= ( 8 über 0 ) * 0,3 ⁰ * ( 1 - 0,3 ) ^{8 - 0}

= 1 * 1 * 0,7 ⁸

≈ 0,0576

sowie

P ( X = 1 ) = B ( n = 8 , k = 1 , p = 0,3 )

= ( 8 über 1 ) * 0,3 ¹ * ( 1 - 0,3 ) ^{8 - 1}

= 8 * 0,3¹ * 0,7 ⁷

≈ 0,1977

und damit (siehe oben):

P ( X ≤ 1 ) = P ( X = 0 ∨ X = 1 )

= P ( X = 0 ) + P ( X = 1 )

= 0,0576 + 0,1977

= 0,2553