Man bestimme die Krümmung der Kurve K

Question

Aufgabe:

Man bestimme die Krümmung der Kurve K im Punkt P.

$$K: \vec{x}(t)=\begin{pmatrix} 2ln(t)\\t+1/t \end{pmatrix}.............P(0,2)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe hier die Formel:

$$K=\frac{ẋ(t)ÿ(t)-ẍ(t)ẏ(t)}{(ẋ(t)^{2}+ẏ(t)^2)^{\frac{3}{2}}}$$

verwendet und bekomme 6/8 hinaus.

Ist das richtig?

Lg

Richard

Answer 1

Hallo Richard,

... und bekomme 6/8 hinaus. Ist das richtig?

Ich habe \(\kappa = 1/2\) heraus. Sieht auch sinnvoller aus, als \(3/4\), wenn man es sich aufzeichnet:

https://www.desmos.com/calculator/umdzduvssj

Bem.: der grüne gestrichelte Kreis hat die Krümmung \(3/4\).

Meine Rechnung:$$K: \quad \vec{x}(t)=\begin{pmatrix} 2\ln(t)\\t+1/t \end{pmatrix}\quad P(0,2) \implies t=1\\ \dot x(t) = \frac{2}{t} \\ \ddot x(t) = -\frac{2}{t^2} \\ \dot y(t) = 1 -\frac{1}{t^2}\\ \ddot y(t) = \frac{2}{t^3} \\ \begin{aligned} \kappa(t) &= \frac{\dot x(t)\ddot y(t) - \ddot x(t)\dot y(t)}{\left(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\right)^{3/2}} \\ &= \frac{\frac{2}{t}\cdot \frac{2}{t^3} + \frac{2}{t^2}\left(1 -\frac{1}{t^2}\right)}{\left(\frac{4}{t^2} + \left(1 -\frac{1}{t^2}\right)^2\right)^{3/2}} \\ &= \frac{2 +2t^2}{t^4\left(1 +\frac{1}{t^2}\right)^{3}} \end{aligned} $$Gruß Werner

Comments

Hatte einen kleinen Rechenfehler, K=1/2 , ist richtig!

Danke Werner