Ableitung Exponentialfunktion Frage

Question

Aufgabe:

Ableitung der e-Funktion:

$$f(x) = \frac{3}{4}·x·e^{1 - \frac{1}{4}·x}$$

Da steht in der Lösung:

$$f'(x) = \frac{3}{4}·e^{1 - \frac{1}{4}·x}·\left(1 - \frac{1}{4}·x\right)$$

Problem/Ansatz:

Verstehe alles aber wieso die 1 in der Klammer weil es vor dem Ausklammern ja eigentlich zweimal das e gibt erklärte mir jemand... Aber bei der Aufgabe wäre ja auch keine 1 irgendwo... f(x)= (3x²-4) × e^{2x} da kommr dann einfach e^{2x}×( 6x² +6x-8) keine 1 irgendwo

Comments

\(f'(x)=\frac{3}{4}\cdot e^{1-\frac{1}{4}x}+\frac{3}{4}x\cdot \bigg(-\bigg(\frac{1}{4}\bigg )\cdot e^{1-\frac{1}{4}x}\bigg)\\ \text{Der größte gemeinsame Faktor ist }\blue{\frac{3}{4}}\red{e^{1-\frac{1}{4}x}}\text{  , also}\\ f'(x)=\blue{\frac{3}{4}}\cdot \red{e^{1-\frac{1}{4}x}}+\blue{\frac{3}{4}}x\cdot \bigg(-\bigg(\frac{1}{4}\bigg )\cdot\red{ e^{1-\frac{1}{4}x}}\bigg)\\ \text{Ausklammern bedeutet teilen, also }\frac{3}{4}:\frac{3}{4}=\blue 1\quad \text{  und }\quad e^{1-\frac{1}{4}x}: e^{1-\frac{1}{4}}=\red 1\\ f'(x)=\frac{3}{4}e^{1-\frac{1}{4}x}\cdot\bigg( \blue 1\cdot \red 1+\blue1\cdot x\cdot \bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\cdot\red 1\bigg)\\ =\frac{3}{4}e^{1-\frac{1}{4}x}\cdot\bigg(1-\frac{1}{4}x\bigg)\\ \text{Die}\quad \blue1\cdot\red 1\quad \text{verschwinden nicht, sondern ergeben die 1, über die du dich wunderst}\)

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f(x)= 3/4 × X × e hoch 1-1/4x

Nein, sondern eher

f(x)= 3/4 × X × e hoch (1-1/4x)

Bei Deiner Wiedergabe der Musterlösung fehlen auch Klammern. Wenn Du nicht mitteilst, wo überall, dann kann man nur raten.

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https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Du hast bei der ersten Ableitung den e-Term eben nur einmal, also 1. Bei der zweiten Ableitung hast du den e-Term nicht einmal. Betrachte hier die Zwischenschritte:

Wenn du ausklammerst und vor dem e-Term steht nichts, dann ergibt das immer eine 1, weil da eigentlich \(1\mathrm{e}^{...}\) steht.

Wird das klar so?

Comments

Verstehe ich gar nicht

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Ableitung 1 ergibt:

\(f'(x)=\frac{3}{4}\cdot \red{1}\mathrm{e}^{1-\frac{1}{4}x}+\frac{3}{4}\blue{x\cdot(-\frac{1}{4})}\mathrm{e}^{1-\frac{1}{4}x}=\frac{3}{4}\mathrm{e}^{1-\frac{1}{4}x}(\red{1}\blue{-\frac{1}{4}x})\)

Hilft das?

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Ja aber bei f(x)= (3x²-4) × e^2x

Ist doch der Zwischenschritt

6x× e^2x + (3x²-4) × e^2x wieso ist da keine 1 vor dem e und in der Klammer?

e^2x×( 6x² +6x-8)

Und in ihrem Zwischenschritt ist 2 mal 3/4 wieso ist es im Ergebnis nur einmal? Wo sind die anderen hin?

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Nein der Zwischenschritt ist \(f'(x)=\red{6x}\mathrm{e}^{2x}+\blue{2(3x^2-4)}\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{2x}(\red{6x}+\blue{2(3x^2-4)})\)

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Also ist beim zweiten keine 1 wegen dem x vor der 6 und bei der ersten Aufgabe ja kein x vor der Zahl steht sondern nur 3/4 kann ich mir das so merken?

Und wo sind die anderen 3/4 verschwunden da sind zwei im Zwischenschritt.

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Bei der ersten Ableitung wurde das \(\frac{3}{4}\) mit ausgeklammert, weil es ja bei beiden Summanden vorkommt.

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Ah danke mache ich das mit der 1 also immer wenn da zb 4 × e^15x steht also immer wenn ganz am anfang eine Zahl ohne x steht?

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Nein. Wenn du den gesamten Term ausklammerst, der da steht, bleibt immer eine 1 übrig. Wenn du nur den e-Term ausklammern würdest, bliebe eine 4 übrig.

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Ahhhh danke ;) Jetzt verstehe ich es glaube. Das merke ich mir fürs Matheabi (in weniger als 9 stunden)

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Oh, dann ganz viel Erfolg dafür!

Answer 2

Dieser Weg hätte vielleicht keine Probleme gebracht:

\(f(x)= \frac{3}{4} \cdot x \cdot e^{1-\frac{1}{4}x}=\frac{3}{4} \cdot x \cdot e^{-(\frac{1}{4}x-1)}\)   

\(f(x)=  \frac{0,75x}{e^{0,25x-1}}\)

Nun Ableitung mit der Quotientenregel: \( (\frac{Z}{N})'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2} \)

\(f'(x)=  \frac{0,75e^{0,25x-1}-0,75x\cdot e^{0,25x-1}\cdot 0,25}{(e^{0,25x-1})^2}\)  gekürzt:

\(f'(x)=  \frac{0,75-0,75x\cdot 0,25}{e^{0,25x-1}}= \frac{\frac{3}{4}-\frac{3}{16}x}{e^{0,25x-1}}\)

Comments

Die Quotientenregel wird im Abitur fast gar nicht mehr behandelt. Ob Bruchrechnung besser klappt als Ausklammern, bezweifle ich. Die Frage wird damit meines Erachtens aber trotzdem nicht beantwortet.

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ie Frage wird damit meines Erachtens aber trotzdem nicht beantwortet.

Supplendum suppleas nilo obstante!

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@Apfelmännchen:

Die Quotientenregel wird im Abitur fast gar nicht mehr behandelt.

Vielleicht durchforstet mal jemand die amtlichen Lehrpläne nach der Benützung der Quotientenregel?!

Die Frage wird damit meines Erachtens aber trotzdem nicht beantwortet.

Du hast das doch schon zur Genüge getan!

( Ich habe bei deinen Kommentaren  einen Verdacht, den ich lieber nicht äußern möchte!)

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Apfelmännchen geht halt davon aus, dass es beim Antworten um das Anliegen des Fragers geht. Tut es aber oft nicht, es geht manchem Antworter nur um sich selbst. Daran darf man ruhig öfter mal erinnern.

Und selbst mit Quotientenregel: Es ist nicht zu erwarten, dass jemand, der Probleme beim Ausklammern hat, entspannt Doppelbrüchen entgegenblickt.

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Und selbst mit Quotientenregel: Es ist nicht zu erwarten, dass jemand, der Probleme beim Ausklammern hat, entspannt Doppelbrüchen entgegenblickt.

Ich finde es gut, wenn jemand mehrere Lösungswege kennenlernt.

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Ich finde es gut, wenn die Fragen der Frager respektiert werden.

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@nudger:

Die Frage des FS ist doch schon von Apfelmännchen ausgiebig beantwortet worden.

Answer 3

Faktor 3/4 beim Ableiten zunächst weglassen (Faktorregel)

u= x, u' = 1

v= e^(1-0,25x), v' = -0,25*e^(1-0,25x)

f '(x) = 1*e^(1-0,25x) -0,25x*e^(1-0,25x) = e^(1-0,25x)*(1-0,25x)

mit Faktor 3/4:

f '(x) = 3/4*e^(1-0,25x)*(1-0,25x) = e^(1-0,25x)*(3/4-3/16*x)

Comments

Die Lösung kennt er doch. Die Frage ist eine andere und wird damit nicht beantwortet.