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Normen Berechnen von Vektorraum
Teil (a): Berechnung der \( p \)-Normen
Für \( p=1,2, \) und \( \infty \), berechnen wir die \( p \)-Normen der gegebenen Vektoren. Die Berechnungen lauten wie folgt:
1. Für \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \):
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\( p=1 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_1 = |1| + |-1| = 2 \)
-
\( p=2 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
-
\( p=\infty \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_\infty = \max(|1|, |-1|) = 1 \)
2. Für \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} \):
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\( p=1 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_1 = |7| + |0| = 7 \)
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\( p=2 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7 \)
-
\( p=\infty \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_\infty = \max(|7|, |0|) = 7 \)
3. Für \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \):
-
\( p=1 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_1 = |1| + |-1| + |1| = 3 \)
-
\( p=2 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \)
-
\( p=\infty \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_\infty = \max(|1|, |-1|, |1|) = 1 \)
4. Für \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} \):
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\( p=1 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_1 = |10| + |10| + |1| = 21 \)
-
\( p=2 \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{10^2 + 10^2 + 1^2} = \sqrt{201} \)
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\( p=\infty \) Norm: \( \| \mathbf{x} \|_\infty = \max(|10|, |10|, |1|) = 10 \)
Teil (b): Vektorraum \( V=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+2y=0\} \) mit \( \|v\|_{p}=1 \)
1.
\( p=1 \): Für den Vektor \( v=(x,y) \), soll gelten \( \|v\|_1 = |x| + |y| = 1 \). Die Gleichung \( x+2y=0 \) beschreibt eine Gerade. Um die Punkte zu finden, bei denen die \( 1 \)-Norm gleich 1 ist, lösen wir dieses System.
2.
\( p=2 \): Hier suchen wir Vektoren \( v \) auf der Geraden \( x+2y=0 \), sodass \( \|v\|_2 = \sqrt{x^2+y^2} = 1 \). Dies bedeutet, wir suchen Punkte auf der Geraden, deren Abstand vom Ursprung 1 beträgt.
3.
\( p=\infty \): Bei der \( \infty \)-Norm betrachten wir \( \|v\|_\infty = \max(|x|, |y|) = 1 \). Da \( x+2y=0 \), suchen wir den maximalen Absolutwert von \( x \) oder \( y \), der dieser Bedingung entspricht.
Teil (c): Kreis \( V=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^2+y^2=1\} \) mit \( \|v\|_{p}=1 \)
1.
\( p=2 \): Für den Vektor \( v=(x,y) \) im Kreis \( x^2+y^2=1 \), gilt die \( 2 \)-Norm per Definition des Einheitskreises bereits als 1, da \( \|v\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \). Das heißt, alle Punkte \( v \) auf dem Kreis haben eine \( 2 \)-Norm von 1.
2.
\( p=\infty \): Die \( \infty \)-Norm \( \|v\|_\infty = \max(|x|, |y|) \) ist gleich 1, wenn einer der beiden Werte \( x \) oder \( y \) den Betrag 1 erreicht, unter der Bedingung, dass der Punkt auf dem Kreis liegt. Solche Punkte wären \( (1,0) \), \( (-1,0) \), \( (0,1) \), und \( (0,-1) \), da sie auf dem Kreis liegen und ihre \( \infty \)-Norm 1 ist.
Zusammengefasst:
Dies bietet eine detaillierte Erklärung und Berechnung der verschiedenen Normen für die gegebenen Vektoren und spezielle Bedingungen in \( p \)-Norm-Räumen.
