Richtungsfeld. Tagenten einzeichnen

Question

Richtungsfeld:

Gegeben sei die Differentialgleichung

\( x' = \frac{{(1 - 2x)^3}}{4} \)

a) Skizzieren Sie das Richtungsfeld, indem zunächst die Tangenten an den Gitterpunkten

\(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \times \left\{-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2\right\}\)

einzeichnen.

b) Lösen Sie die Differentialgleichung mit dem AWP x(0) = - 1 und plotten Sie Ihre Lösungekurve in die Skizze aus a)

Problem/Ansatz;

Ich weiß nicht ob es an meiner inkompetent liegt (wahrscheinlich schon).

Allerdings versuche ich seit gestern Mittag einen graphen zu erstellen. Unser Tutor meinte es wäre besser es digital zu erstellen, allerdings bin ich mir absolut nicht sicher ob ich es überhaupt richtig durchgesetzt habe.

Bei Aufgabe a) sollte man ja die tagenten eintragen, aber ich mir immer noch nicht sicher inwiefern Gitterpunkte damit zu tun haben. Ich habe es erstmal so gemacht (s. Bild). Ist das richtig?

Answer 1

Du bist vermutlich mit den Bezeichnungen durcheinander gekommen.

Die Dgl ist \(x'(t)=f(t,x(t))\), d.h. geplottet wird in der \(t-x\)-Ebene. Auf der horizontalen Achse ist \(t\), auf der vertikalen \(x\). Da \(f\) unabhängig von \(t\) ist, ergibt sich für alle \(t\in\{0,1,...,6\}\) dieselbe Steigung.

Die Gitterpunkte sind in der \(t-x\)-Ebene, einer ist also z.B. \((0,0.5)\), dort erhält man die Steigung \(0\). Also ist auch in \((1,0.5), (2,0.5),(3,0.5),(4,0.5),(5,0.5),(6,0.5)\) die Steigung jeweils \(0\). Weiter ist z.B. in \((0,0),(1,0), (2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0)\) die Steigung jeweils \(0.25\) usw.