Gewöhnliche vs. absolute Konvergenz

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Aufgabe:

Gewöhnliche vs. absolute Konvergenz

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Sei \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k eine absolut konvergente Reihe und (b_n) eine konvergente Folge.Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) b_k a_k absolut.

(b) Sei  \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k eine (gewöhnlich) konvergente Reihe und (b_n) eine konvergenteFolge. Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) b_k a_k

Problem/Ansatz:

(a) Sei

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k

eine absolut konvergente Reihe und (b_n)
eine konvergente Folge. Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) b_k a_k
absolut.
Beweis:
Da \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k
absolut konvergiert, gibt es eine Konstante M>0 , so dass ∣a_k∣ ≤ M für alle k  Da (b_n)
konvergiert, ist sie beschränkt, d.h., es gibt eine Konstante N>0, so dass ∣b_k∣ ≤ N
für alle k. Daher haben wir ∣b_ka_k∣≤MN für alle k  Da MN
eine Konstante ist, folgt aus dem Majorantenkriterium, dass die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) b_k a_k
absolut konvergiert.
(b) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k
eine (gewöhnlich) konvergente Reihe und (b_n)
eine konvergente Folge. Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) b_k a_k

Beweis:
Da\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) a_k
konvergiert, folgt aus dem Cauchy-Kriterium, dass für jedes ϵ > 0 gibt es ein N, so dass für alle n > m ≥ N
gilt

| \( \sum\limits_{k=m+1}^{\infty} \) a_k | < ϵ

Comments

Was soll denn \(\sum\limits_{k=1}^\infty n\) a_k bedeuten?

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Hallo,
war ein kleiner tipp fehler habe vergessen das n zu löschen aus dem latex code sollte

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Diese Frage gab es kürzlich schon mal.
Bei (a) solltest du besser nur \(\lvert b_k\rvert\le N\) und nicht \(\lvert a_k\rvert\le M\) abschätzen.
Zu (b) finde ein konkretes Gegenbeispiel.

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danke, wäre das beispiel ok?

Nehmen wir an, die Reihe a_k = \( \frac{1}{k} \) und die folge b_k=k
Die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{a_k} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}} \)
ist eine harmonische Reihe, die bekanntermaßen konvergiert. Die Folge b_k=k konvergiert gegen Unendlich. Die resultierende Reihe

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{b_ka_k} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{k * \frac{1}{k}} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{1} \)

ist jedoch eine divergente Reihe. Daher ist die ursprüngliche Aussage in (b) nicht allgemein gültig.

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Die harmonische Reihe ist bekanntlich divergent. Die Folge \(b_k=k\) passt auch nicht, weil sie nicht konvergent ist.
Versuch mal \(\displaystyle a_k=b_k=\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\).

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Pefekt habs raus danke!

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ich hätte noch eine kurze frage zur verständnis wie kamst du auf die lösung versthe nicht so ganz wie ich sowas in der prüfung herleiten soll

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Es ist schon Einges diskutiert worden. Zur Sicherheit: Deine Aussage zum Majorantenkriterium in a) ist völlig falsch.