Aufgabe:
Für n≥3 gilt \(\frac{n^2-4}{8n^2}\geq \sum_{i=3}^n \frac{1}{i^3}\geq \frac{n^2+2n-8}{18(n+1)^2}\)
Problem/Ansatz:
Seien\( \varphi(n)=\frac{n^2-4}{8n^2}\\ \tau(n)= \sum_{i=3}^n \frac{1}{i^3}\\ \mu(n)=\frac{n^2+2n-8}{18(n+1)^2} \)
So gilt \(\varphi(n) \geq \tau(n) \geq \mu(n)\) ebenfalls wenn \(\varphi(n) \geq \tau(n)\) und \(\tau(n) \geq \mu(n)\).
Zum betrachten der 3 Funktionen setzen wir n=3 als kleinsten Wert ein und erhalten
\( \varphi(3)=\frac{3^2-4}{8\cdot3^2}=\frac{9-4}{8\cdot9}=\frac{5}{72}\\ \tau(3)=\sum_{i=3}^3 \frac{1}{i^3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\\ \mu(3)=\frac{3^2+2\cdot3-8}{18(3+1)^2}=\frac{9+6-8}{18\cdot(4)^2}=\frac{7}{288} \)
Für n=3 gilt also \( 0.06944444444\geq0.03703703704\geq0.02430555556\)
was stimmt.
Angenommen, die Ungleichung gilt für ein beliebiges \(n \geq 3\), d.h. \(\frac{n^{2}-4}{8 n^{2}} \geq \sum_{i=3}^{n} \frac{1}{i^{3}}\).
Wir schlüsseln die Terme für die übersichtlichkeit auf indem wir n=k+1 setzen.
\(\frac{(k+1)^2-4}{8(k+1)^2}=\frac{k^2+2k-3}{8k^2+16k+8}\\ \geq \sum_{i=3}^{k+1} \frac{1}{i^{3}}\\ \geq \frac{1}{27}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{(k+1)^3}\)
Wir erkennen dass die \(\lim \sum_{i=3}^{k+1}\) gegen hohe k den Wert 0,01 geht während der lim von \(\frac{k^2-4}{8k^2}\) gegen 1/8 geht, womit bei hohen k \(\varphi>\tau\)
Dies ist mein Ansatz, funktioniert der? Kann mir wer beim lösen helfen?
