Ungleichung der Form Term>Summe>Term lösen.

Question

Aufgabe:

Für n≥3 gilt $\frac{n^2-4}{8n^2}\geq \sum_{i=3}^n \frac{1}{i^3}\geq \frac{n^2+2n-8}{18(n+1)^2}$

Problem/Ansatz:

Seien$\varphi(n)=\frac{n^2-4}{8n^2}\\ \tau(n)= \sum_{i=3}^n \frac{1}{i^3}\\ \mu(n)=\frac{n^2+2n-8}{18(n+1)^2}$
So gilt $\varphi(n) \geq \tau(n) \geq \mu(n)$ ebenfalls wenn $\varphi(n) \geq \tau(n)$ und $\tau(n) \geq \mu(n)$.
Zum betrachten der 3 Funktionen setzen wir n=3 als kleinsten Wert ein und erhalten
$\varphi(3)=\frac{3^2-4}{8\cdot3^2}=\frac{9-4}{8\cdot9}=\frac{5}{72}\\ \tau(3)=\sum_{i=3}^3 \frac{1}{i^3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\\ \mu(3)=\frac{3^2+2\cdot3-8}{18(3+1)^2}=\frac{9+6-8}{18\cdot(4)^2}=\frac{7}{288}$
Für n=3 gilt also $0.06944444444\geq0.03703703704\geq0.02430555556$
was stimmt.

Angenommen, die Ungleichung gilt für ein beliebiges $n \geq 3$, d.h. $\frac{n^{2}-4}{8 n^{2}} \geq \sum_{i=3}^{n} \frac{1}{i^{3}}$.
Wir schlüsseln die Terme für die übersichtlichkeit auf indem wir n=k+1 setzen.
$\frac{(k+1)^2-4}{8(k+1)^2}=\frac{k^2+2k-3}{8k^2+16k+8}\\ \geq \sum_{i=3}^{k+1} \frac{1}{i^{3}}\\ \geq \frac{1}{27}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{(k+1)^3}$

Wir erkennen dass die $\lim \sum_{i=3}^{k+1}$ gegen hohe k den Wert 0,01 geht während der lim von $\frac{k^2-4}{8k^2}$ gegen 1/8 geht, womit bei hohen k $\varphi>\tau$

Dies ist mein Ansatz, funktioniert der? Kann mir wer beim lösen helfen?

Answer 1

Du hast den Induktionsanfang, warum machst du dann nicht mit Induktion weiter? richtig für n daraus folgern richtig für n+1

lul

Comments

Ein Blick auf die Aussage, sagt mir, dass Du die Aufgabe vielleicht eher mit einem Integralvergleich bearbeiten solldt - wenn Ihr das schon kennengelernt habt.

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Haben wir so far eigentlich nicht, aber ich les mich online mal rein

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ich bin leider auf keine Lösung gekommen. kann mir Jemand bitte helfen?

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Ich bin im Induktionsschritt bei der Summe nicht weiter gekommen. So den Term für n+1 zu formulieren geht ja, aber mit Summen struggle ich einfach sehr, die Sagt ja aus

1/27 + 1/64 + ... + 1/n + 1/n+1 aber wie kommt ich jetzt darauf das dies die ungleichung erfüllt

Answer 2

Also mal die Lösung mit Integralvergleich: Für $i \geq 3$ gilt:

$$\frac{1}{i ^3}\leq \int_{i-1}^i \frac{1}{x^3} \;dx$$

Daher

$$\sum_{i=3}^n \frac{1}{i ^3}\leq \sum_{i=3}^n\int_{i-1}^i \frac{1}{x^3} \;dx=\int_2^nx^{-3}\; dx=\left[-\frac{1}{2}x^{-2}\right]_2^n=\frac{1}{8}-\frac{1}{2n^2}$$

Natürlich kann man auch die obige Ausgangs-Ungleichung nutzen, um einen Induktionsbeweis zu organisieren.