Aufgabe:
Sei \( K \) ein Körper. Wir definieren den Ring der formalen Potenzreihen
\( K[X]:=\left\{f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k} \mid a_{k} \in K\right\} \)
mit der Addition
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k} X^{k}:=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) X^{k} \)
und der Multiplikation
\( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{n} X^{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{n} X^{n}\right):=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{i+j=k} a_{i} \cdot b_{j}\right) X^{k} . \)
Sei \( 0 \neq f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k} \), dann definieren wir
\( \operatorname{ord}(f):=\min \left\{k \mid a_{k} \neq 0\right\} . \)
Wir setzen weiterhin \( \operatorname{ord}(0)=\infty \).
1. Zeigen Sie, dass \( K \llbracket X \rrbracket \) ein Ring ist.
2. Seien \( f, g \in K \llbracket X \rrbracket \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{ord}(f \cdot g)=\operatorname{ord}(f)+\operatorname{ord}(g) \).
3. Zeigen Sie, dass \( 1-X \) in \( K \llbracket X \rrbracket \) invertierbar ist.
Bonusaufgabe:
Wir lassen \( K\lceil X \rrbracket \) wie in der oberen Aufgabe und definieren die Ordnung ebenfalls wie oben. Zeigen Sie, dass \( f \in K \llbracket X \rrbracket^{\times} \)genau dann wenn \( \operatorname{ord}(f)=0 \).
Ansatz/Problem:
f aus K((X))* genau dann wenn ord (f) =0. Wie würde man hier vorgehen?
