Hilfe bei Bildung von Stammfunktion

Question

Bestimmen Sie das folgende Integral

a) $$\int\limits_{0}^{1}(2x+\frac{1}{x²-4x+4})dx$$

Mein Ansatz wäre ganz normal

$$f(x)=2x+\frac{1}{x²-4x+4}$$

$$F(x)=x²+ln(|x²-4x+4|)$$

$$F(1)-F(0)=(1²+ln(|1²-4*1+4|))-(0²+ln(|0²-4*0+4|))=-0,386$$

aber das kann ja nicht stimmen. Meine Stammfunktion muss falsch sein, aber ich verstehe nicht, wie ich etwas anderes bilden sollte...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$I=\int\limits_0^1\left(2x+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)dx=\int\limits_0^12x\,dx+\int\limits_0^1\frac{1}{(x-2)^2}dx$$

Das zweite Integral kannst du mit Substitution lösen:$$u\coloneqq x-2\implies\frac{du}{dx}=1\implies dx=du$$sowie den neuen Grenzen $u(0)=-2$ und $u(1)=-1$. Dies eingesetzt liefert:$$I=\int\limits_0^12x\,dx+\int\limits_{-2}^{-1}\frac{1}{u^2}\,du=\left[x^2\right]_0^1-\left[\frac1u\right]_{-2}^{-1}=\left(1-0\right)-\left(-1+\frac12\right)=\frac32$$

Du hast einen häufigen Fehler gemacht. Wenn du mal den Logarithmus einer Funktion $f(x)$ mittels der Kettenregel ableitest:$$\left(\ln(\pink{f(x)}\right)'=\underbrace{\frac{1}{\pink{f(x)}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot \underbrace{\pink{f'(x)}}_{\text{innere Abl.}}=\frac{f'(x)}{f(x)}$$stellst du fest, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht.

Hier steht im Zähler eine $1$ und nicht $(2x-4)$. Daher ist die Logarithmusfunktion nicht das Integral des Bruches.

Comments

Wow, danke für die Antwort und die ausführliche Erklärung!

Answer 2

Mach bei selbst berechneten Stammfunktionen stets die Probe durch Ableiten. Dann siehst Du auch, warum es falsch ist (nicht nur, dass es falsch ist).

Benutze im Nenner die binomische Formel, dann solltest Du leicht die richtige Stammfunktion finden. Notfalls eine Mini-Substitution durchführen.

Comments

Danke für die Antwort und Deine Tipps. Habs geschafft.

Answer 3

Ja, sie ist falsch. Leite sie ab und du siehst, dass sie nicht stimmen kann.

Es gilt: f(x) = lng(x)  - > f '(x) = g'(x)/g(x)

x²-4x+4 = (x-2)²

Substituiere x-2 = u

https://www.integralrechner.de/

Answer 4

Wegen des offensichtlichen Fehlers: Wenn man die Ableitung eines Bruchs integriert, wie in diesem Fall, dann ist die Stammfunktion nicht immer der Logarithmus vom Nenner. Das gilt nur dann, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht, das heißt

$\int\!\frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x = \ln(f(x))+C$.

Dieser Fall liegt hier jedoch nicht vor.