Integration über Dreieck.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Integrieren Sie über dem Dreieck mit den Eckpunkten \( (0,1),(1,2),(3,1) \) die Funktion \( f(x, y)=x \cdot y \), d.h. berechnen Sie
\( I=\iint_{G} x \cdot y \mathrm{~d} A \)

Problem/Ansatz: Wäre sehr lieb, wenn Ihr mir bitte helfen könntet, habe gar keine ahnung wie ich vorangehen soll. Habe mir das Dreieck im Koordinatensystem gezeichnet für einen Überblick.
Liebe Grüße

xyz1

Answer 1

Hallo

aus deiner Zeichnung sollte doch zu sehen sein y von 0 bis 3

davor x durch die Gerade y=0,5x-0,5 begrenzt und fängt bei 1 an.

Gruß lul

Comments

Auch die Gerade y=x+1 ist eine Begrenzung.

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warum ist y= 0 bis 3? y ist doch 1 bis 2 und x= 0 bis 3??

Answer 2

\(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dy\,dx\) bedeutet: \(x\) läuft von \(a\)  bis \(b\) und \(y\) von \(c\) bis \(d\). Achte genau auf die Zuordnung und Reihenfolge.

Wenn Du \(a=0, b=3\) und \(c=1, d=2\) nimmst, wird aber ein Rechteck durchlaufen, in senkrechten Streifen (mach Dir das klar). Das ist aber zuviel, wir wollen ja ein Dreieck. \(c=1\) als untere Grenze passt, aber \(d\) hängt von \(x\). Und zwar unterschiedlich für \(x\le 1\) und \(x\ge 1\).

Teile also auf:

\(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dy\,dx = \int\limits_0^1\int\limits_1^{d_1} ...dy\,dx +\int\limits_1^3\int\limits_1^{d_2}...dy\,dx\). Die oberen Grenzen \(d_1,d_2\) hängen von \(x\) ab, finde dazu passende Formeln (aus Geradengleichungen).

Zur Übung berechne dasselbe Integral mit anderer Reihenfolge, also

als \(\int\limits_a^b\int\limits_c^d ...dx\,dy\), dabei wird die Fläche in waagerechten Streifen durchlaufen. Da brauchst Du keine Aufteilung. Endergebnis ist das gleiche wie bei der Variante oben.

Comments

woher die (a=0, b=3\) und \(c=1, d=2\) und dx,dy?

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Wir integrieren über eine Fläche, also Doppelintegral. Nochmal: beachte die Zuordnung - oben in der ersten Zeile meiner Antwort: äußeres Integral ist dx, inneres ist dy.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir brauchen zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der ausgehend vom Ursprung die Fläche des Dreiecks \(G\) abtastet:$$\vec r=\binom{0}{1}+s\cdot\binom{1-0}{2-1}+t\cdot\binom{3-0}{1-1}\quad;\quad s\in[0;1]\;;\;t\in[0;s]$$$$\vec r=\binom{0}{1}+s\cdot\binom{1}{1}+t\cdot\binom{3}{0}=\binom{s+3t}{1+s}\quad;\quad s\in[0;1]\;;\;t\in[0;s]$$

Die von den beiden Richtungsvektoren \(\binom{3}{0}\) und \(\binom{1}{1}\) aufgespannte Fläche erhalten wir mittels der Determinante \(\begin{vmatrix}3 & 1\\0 & 1\end{vmatrix}=3\). Damit lautet das Flächenelement in den Koordinaten \(s\) und \(t\):$$dA=3\,ds\,dt$$

Mit \((x=s+3t)\) und \((y=1+s)\) heißt das für das Integral:$$I=\int\limits_{s=0}^1\;\int\limits_{t=0}^s(s+3t)(1+s)\,3\,ds\,dt=3\int\limits_{s=0}^1\;\int\limits_{t=0}^s(s^2+3st+s+3t)\,ds\,dt$$$$\phantom I=3\int\limits_{s=0}^1\left[s^2t+\frac32st^2+st+\frac32t^2\right]_{t=0}^sds=3\int\limits_{s=0}^1\left(s^3+\frac32s^3+s^2+\frac32s^2\right)ds$$$$\phantom I=3\int\limits_{s=0}^1\left(\frac52s^3+\frac52s^2\right)ds=\frac{15}{2}\left[\frac14s^4+\frac13s^3\right]_{s=0}^1=\frac{15}{2}\cdot\frac{7}{12}=\frac{35}{8}$$