Mehrdimensionale Integration Grenzen festlegen

Question

Aufgabe:

Sei \( B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \quad y^{2} \leq x\right. \) und \( \left.x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} \).

i) Skizzieren Sie den Bereich \( B \).

ii) Berechnen Sie den Flächeninhalt von \( B \).

Problem/Ansatz:

Hi liebe Community, ich habe bei solchen Aufgaben immer Probleme den Bereich zu skizzieren und dann die Integrationsgrenzen festzulegen. Den Lösungsweg des Integrals kenne ich und der ist auch nicht das Problem. Wie gesagt ich weiß bei solchen Aufgabentypen einfach nicht wie ich den Bereich skizziere und vor allem dann die Integralgrenzen festlege.

schönen Sonntag und vielen Dank im voraus.

Answer 1

Generell: Skizziere die Kurven mit \(=\) anstelle von \(\le\). Das ergibt hier eine gespiegelte Normalparabel und einen Kreis (diese Gleichungen darf man ruhig auswendig kennen). Für \(\le\) überlege Dir auf welcher Seite der Kurve (oben/unten/links/rechts) die Punkte liegen müssen. Kann man auch einfach austesten (einen Punkt (x,y) einsetzen und schauen, liegt er links oder rechts von der Parabel, analog mit dem Kreis, falls nötig).

Dann Schnittmenge skizzieren.

Es hilft in das Integrationsgebiet Linien einzuzeichnen, in denen das Gebiet durchlaufen wird:
\(\int\limits_a^b f(x)\, dx\) heißt: \(x\) läuft von \(a\) bis \(b\), das sind horizontale Linien in \(\R^2\). Wo die beginnt und endet, kannst Du an der Skizze ablesen.

Analog: \(\int\limits_c^d g(y)\, dy\) heißt: \(y\) läuft von \(c\) bis \(d\), das sind vertikale Linien in \(\R^2\). Deren Grenzen hängen hier von \(x\) ab. Man muss also schauen, wo die vertikalen Linien auf die Kurven stoßen. Die Gleichung der Kurven kennst Du aber, also damit den x-y-Zusammenhang.

Dann zum Doppelintegral zusammensetzen. Integrationsfunktion ist hier ja die Konstante 1.

Comments

wow, danke das sind echt hilfreiche Tips :)

vielen vielen Dank

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Freut mich. Wenn's Probleme bei der Umsetzung gibt, frag gerne nach.

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Text erkannt:

4. Aufgabe \( (4+6+10=20 \) Punkte \( ) \)
a) Sei \( B:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \quad x^{2} \leq y \leq 9 x^{2}, x \geq 0, y \leq 9\right\} \).
i) Skizzieren Sie den Bereich \( B \).
ii) Berechnen Sie den Flächeninhalt von \( B \).

jetzt muss ich mich doch nochmal melden, die Skizze ist hier kein Problem:

Dies wären die Fläche zw den beiden Parabeln beschränkt durch x=>0 und y<=9

Aber bei den Integrationsgrenzen hänge ich wieder. Meine Überlegung wäre: x^2<=y<=9x^2 und 0<=x<=3 aber irgendwo hat sich hier ein Fehler eingeschlichen.

Vielen Dank im Voraus

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Man muss hier (übrigens auch bei der ersten Frage) den x-Bereich für das Integral nochmal unterteilen, denn die obere Kante wechselt ja (weil bei y=9 abgeschnitten wurde). Z.B. ist in Deinem Bereich ja \(y=9\cdot 3^2\) noch im Gebiet, aber das ist ja wegen \(y\le 9\) nicht zugelassen.

Also: \(0\le x\le 3\) ok. Untere Grenze für \(y\) ist für alle \(x\): \(y=x^2\). Aber die obere Grenze ist nur am Anfang \(y=9x^2\), dann wechselt sie zu \(y=9\). Solltest Du an der Skizze erkennen. Kannst Du das \(x_0\) bestimmen, wo es wechselt? Dann wären die Bereiche:

\(0\le x\le x_0\) mit \(x^2\le y\le 9x^2\)

\(x_0\le x\le 3\) mit \(x^2\le y\le 9\)

Also Flächeninhalt als zwei Integrale ausrechnen.

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Ah das macht Sinn, nach meinen Überlegungen müsste gelten: x0=1, da dort y=9x^2 die obere Grenze erreicht.

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe :)

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Genau, \(x_0=1\).

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vielen vielen dank!!!

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Man merkt, Du hast es verstanden, schön!

Answer 2

Die erste Fläche ist das Innere und der Rand einer nach rechts geöffneten Normalparabel mit dem Scheitel im Ursprung, die zweite Fläche das Innere und der Rand eines Kreises um den Ursprung mit dem Radius \(\sqrt{2}\). Beides zusammen ist die Schnittmenge und die sieht so aus:

y^2 <= x and x^2+y^2 <= 2

Comments

dank schonmal, dass hilft schon weiter :)

Hast du dann ein bestimmtes vorgehen zum aufstellen der Integralgrenzen?

Beste Grüße

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Schau Dir den o.g. Link an.

Answer 3

Konkret sieht dann die Berechnung so aus:

\( \begin{array}{l}\int \limits_{-1}^{1} \int \limits_{y^{2}}^{\sqrt{2-y^{2}}} 1 d x d y=\int \limits_{-1}^{1}[x] \sqrt{2-y^{2}} d y=\int \limits_{-1}^{1}\left(\left[\sqrt{2-y^{2}}-y^{2}\right]\right) d y \\ =\left[\frac{y \sqrt{2-y^{2}}}{2}+\arcsin \left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{3} y^{3}\right]_{-1}^{1} \\ =\frac{1}{2}+\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{2}+\arcsin \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{3}\right)\right) \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \pi-\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{2}+\frac{-1}{4} \pi-\frac{-1}{3}\right) \\ =\frac{1}{2} \pi+1-\frac{2}{3}=\frac{1}{2} \pi+\frac{1}{3} \\\end{array} \)