Volumen zeigen (mehrdimensionale Integration)

Question

a) Es seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( R_{0}, R_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig auf \( [a, b] \) mit \( 0 \leq R_{0}(z) \leq R_{1}(z) \). Zeige, dass dann der Rotationskörper
\( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid a \leq z \leq b \text { und } R_{0}(z) \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq R_{1}(z)\right\} \)
das Volumen \( |M|=\pi \int \limits_{a}^{b}\left(R_{1}^{2}(z)-R_{0}^{2}(z)\right) \mathrm{d} z \) hat.

Kann mir jemand zeigen, wie man dies löst? Danke

Answer 1

Du transformiertst M in Zylinderkoordinaten:

$$Vol(M) = \int_M dx dy dz =\int_{z=a}^b\int_{r=R_0(z)}^{R_1(z)} \int_{\phi = 0}^{2\pi}r\;d \phi drdz $$

$$= 2\pi \int_a^b \int_{r=R_0(z)}^{R_1(z)}r\; drdz =\pi \int_a^b ((R_1(z))^2-(R_0(z))^2)\;dz$$

Comments

Hallo, danke für deine Hilfe; ich hätte noch eine Frage zu dieser Aufgabe. Ist mein a=0 und mein b=3?

Mein R0=0? Und mein R1=??

Teilaufgabe b) \( M \) ist ein Trichter, der durch Rotation der Kurve \( z=\sqrt{x} \) für \( 0 \leq x \leq 9 \) um die \( z \)-Achse entsteht. Gebe das Volumen von \( M \) an.

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Kommt drauf an, welches Volumen du genau berechnen willst.

Für das Volumen erzeugt zwischen der z-Achse und dem Graphen \(z=\sqrt{x}\) hast du \(R_0(z) = 0\) und \(R_1(z) = z^2\).

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Also so?

\( \int \limits_{0}^{3} \pi \cdot\left(z^{2}-0\right) d z \)

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\(R_1^2(z) = z^4\), denn du rotierst um die z-Achse. Daher ist

$$R_1(z) = x = z^2$$

Wenn du den Graphen von der z-Achse aus ansiehst, siehst du nämlich eine Parabel.

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Stimmt.

Danke