Volumen zeigen (mehrdimensionale Integration)

Question

a) Es seien $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a<b$ und $R_{0}, R_{1}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig auf $[a, b]$ mit $0 \leq R_{0}(z) \leq R_{1}(z)$. Zeige, dass dann der Rotationskörper
$M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid a \leq z \leq b \text { und } R_{0}(z) \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq R_{1}(z)\right\}$
das Volumen $|M|=\pi \int \limits_{a}^{b}\left(R_{1}^{2}(z)-R_{0}^{2}(z)\right) \mathrm{d} z$ hat.

Kann mir jemand zeigen, wie man dies löst? Danke

Answer 1

Du transformiertst M in Zylinderkoordinaten:

$$Vol(M) = \int_M dx dy dz =\int_{z=a}^b\int_{r=R_0(z)}^{R_1(z)} \int_{\phi = 0}^{2\pi}r\;d \phi drdz$$

$$= 2\pi \int_a^b \int_{r=R_0(z)}^{R_1(z)}r\; drdz =\pi \int_a^b ((R_1(z))^2-(R_0(z))^2)\;dz$$

Comments

Hallo, danke für deine Hilfe; ich hätte noch eine Frage zu dieser Aufgabe. Ist mein a=0 und mein b=3?

Mein R0=0? Und mein R1=??

Teilaufgabe b) $M$ ist ein Trichter, der durch Rotation der Kurve $z=\sqrt{x}$ für $0 \leq x \leq 9$ um die $z$-Achse entsteht. Gebe das Volumen von $M$ an.

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Kommt drauf an, welches Volumen du genau berechnen willst.

Für das Volumen erzeugt zwischen der z-Achse und dem Graphen $z=\sqrt{x}$ hast du $R_0(z) = 0$ und $R_1(z) = z^2$.

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Also so?

$\int \limits_{0}^{3} \pi \cdot\left(z^{2}-0\right) d z$

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$R_1^2(z) = z^4$, denn du rotierst um die z-Achse. Daher ist

$$R_1(z) = x = z^2$$

Wenn du den Graphen von der z-Achse aus ansiehst, siehst du nämlich eine Parabel.

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Stimmt.

Danke