mehrdimensionale Integration - Intervalle finden für D:={(x,y) : 4≤ x^2 + y^2 ≤ 9}

Question

Aufgabe:

Sei \( D:=\left\{(x, y): 4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} . \)

Berechnen Sie

\( \int \limits_{D} 2 \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d}(x, y) \)

Ansatz/Problem:

Nun brauche ich ja quasi die Grenzen für die Integration nach x und y also etwas in der Form

x∈[a,b] und g(x) ≤ y ≤ h(x).

Die gegebene Ungleichung kann ich ja aufteilen in 4 ≤ x²+y² und x²+y²≤9 welche ich wiederum nach y umstellen kann und wieder zusammenfügen kann, wodurch ich √(4-x²)≤y≤√(9-x²) erhalte. Jetzt fehlt mir aber noch etwas in Richtung x∈[a,b] wobei a und b keine x oder y mehr enthalten dürfen.

Wie kann ich das berechnen?

Answer 1

x^2+y^2=r^2, dann Polarkoordinaten dA=r*dr*dφ, 2<=r<=3