Mehrdimensionale Integrale Satz von Fubini

Question

Aufgabe:

Es soll mit Fubini gezeigt werden, dass die Reihenfolge vertauscht werden kann.

f(x,y)=xy und die Grenzen sind x ∈ [0,1] und x≥y≥x^2 als Normalbereich

Ich habe die eine Reihenfolge schon berechnet, mit zuerst von x bis x^2 und dann von 0 bis 1 und habe das Ergebnis 1/24 erhalten.

Leider erhalte ich bei der anderen Reihenfolge nicht dasselbe Ergebnis.

Comments

Schreib doch mal hierhin, was Du im 2. Fall gerechnet hast. Dann kann man nach Deinem Fehler suchen.

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Ist die erste Lösung mit 1/24 korrekt?

Für das zweite Reihenfolge gilt:

\( \int\limits_{x^2}^{x} \) \( \int\limits_{0}^{1} \) xy dxdy=\( \int\limits_{x^2}^{x} \)[\( \frac{x^2y}{2} \) von 0 bis 1]dy=\( \int\limits_{x^2}^{x} \) y/2 dy= x^2/4-x^4/4

Answer 1

Dein Ergebnis 1/24 ist richtig.

Für die andere Reihenfolge hast Du falsch angesetzt. Zunächst ist das Intgral - egal wie man es berechnet - eine Zahl. Das Ergebnis darf also von keiner Variable abhängen.

Für die Umformung musst Du den Integrationsbereich als Normalbereich darstellen. Da hilft oft eine Skizze. Jedenfalls ist die Vorgabe des Integrationsbereichs:

$$\text{Menge aller } (x,y): \quad0 \leq x\leq 1\text{  und } x^2 \leq y\leq x$$

Daraus folgt dann die Berechnung des Integrals in der Form

$$\int_0^1 \left(\int_{x^2}^x xy\;dy\right)\;dx$$

Den Integrationsbereich kann man äquivalent auch so als Normalbereich darstellen

$$\text{Menge aller } (x,y): \quad0 \leq y\leq 1\text{  und } y \leq x\leq \sqrt{y}$$

Daraus folgt dann die Berechnung des Integrals in der Form
$$\int_0^1 \left(\int_{y}^{\sqrt{y}} xy\;dx\right)\;dy$$

Comments

Vorletztes Integral ist doch genau, dass was ich oben verwendet habe, nur unter Vertauschung der Reihenfolge, was erlaubt ist oder? Wo liegt dann der Fehler?

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was erlaubt ist oder

Nein.

Diese Art von Vertauschung geht nur bei der Integration über Rechtecke - wo also die Grenzen für die Variable x unabhängig von y sind und die Grenzen für die Variable y unabhängig von x

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Was ist dann gemeint mit die Doppelintegrale in beiden Reihenfolgen berechnen, sind das genau die zwei letzten genannten Integrale von dir?

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Ja, das denke ich.

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Wie wäre es dann bei dem Normalbereich?

0≤x≤1, 0≤y≤x, Wie lässt sich dieser noch darstellen?

Ist dies einfach 0≤y≤1, 0≤x≤y?

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Ja, das denke ich.

?? Ich muss an meinen vorigen Kommentar anfügen???

Mach Dir eine Skizze. Koordinatensystem. Markieren die Punkte x_i=0.2,0.2, ...1. Über jedem Punkt zeichne die Strecke von (x_i,0) bis (x_i,x_i). Das gibt Dir eine Bild von der durch die erste Bedingung gegebene Fläche.

Dann mache das Analoge für die 2. von Dir angegebene Bedingung: Zeichne Punkte y_i=0.2,0.2,...,1 ein.Zu jedem Punkt Strecke (0,y_i) bis (y_i,y_i).

Erhältst Du in beiden Fällen dieselbe Fläche?

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Meinst du für mein 2. genanntes Beispiel

0≤x≤1, 0≤y≤x,  0≤y≤1, 0≤x≤y

Das kann nicht stimmen, ich habe auch schon über die verschiedenen Integrale überprüft. Ich erhalte beim ersten (e-1)/2, beim zweiten taucht wieder eine Variable auf. Wie müsst der zweite Normalbereich richtig umgeschrieben lauten?

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Hast Du Dir denn mal eine Skizze gemacht? Um welches Gebiet handelt es sich denn?

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Was meinst du mit Gebiet?

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Ich hab mir eine Skizze gemacht, und erhalte nicht dasselbe. D.h. wie muss der zweite Bereich verändert werden?

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2. Darstellung:

$$0 \leq y \leq 1, \quad y \leq x \leq 1$$