Bestimmen g' mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion

Question

Hallo,

Ich bin zurzeit am Aufgabenteil c) dran. Dabei verstehen ich aber nicht genau was gefragt ist.

Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

Aufgabe 11: ( \( 3+4+3 \) Punkte)
Es sei \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \ln \left(2 x^{3}+x\right) \).
(a) Bestimmen Sie \( f^{\prime}(x) \).
(b) Zeigen Sie, dass \( f \) eine Umkehrfunktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) besitzt.
(c) Bestimmen Sie \( g^{\prime}(\ln (3)) \) mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$y(x)=f(x)=\ln(2x^3+x)\quad;\quad x>0$$

zu c) Du hast in (a) die Ableitung berechnet:$$y'(x)=\frac{6x^2+1}{2x^3+x}$$Damit kennst du die Ableitung der Umkehrfunktion \(x(y)\):$$x'(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{2x^3+x}{6x^2+1}$$

Speziell im Punkt \((x_0;y_0)=(1;\ln(3))\) beträgt die Ableitung der Umkehrfunktion daher:$$x'(\ln(3))=\frac{2\cdot1^3+1}{6\cdot1^2+1}=\frac37$$

Answer 2

Es geht hierum bei c)

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

a) f '(x) = (6x^2+1)/(2x^3+x)

b)

x= ln(2y^3+y)

e^x = 2y^3+y

2y^3+y-e^x= 0

y= ...

Mit der Cardano-Formel ist das lösbar.

Comments

1 Markierung:
Bemerkung (Apfelmännchen “Folglich ist das hier keine Antwort auf die gestellte Frage!”)

Was erwartest du von den Moderatoren, wenn du das markierst? Sollen wir dann die Antwort löschen oder sollen wir dich loben, wie das hast du fein gemacht?

Bitte schreibe doch nächstes Mal einfach nur einen Kommentar unter den Beitrag wie sonst üblich.

Generell müsste man sich überlegen, was mit Antworten passieren soll, die verkehrt sind oder die aus irgendwelchen Gründen keine Antwort auf die gestellte Frage sind. Wobei es ja auch oft nur Hinweise gibt, die auch keine Antworten auf die gestellten Fragen sind.

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Eine Maßnahme wäre ja, daraus einen Kommentar zu machen.

Hinweise wären aus meiner Sicht eben auch nur einen Kommentar wert und eben keine Antwort, wobei Antwort hier nun nicht heißt "Komplettlösung".

Answer 3

du sollst g' an der Stelle ln(3) bestimmen (wobei ln(3)=f(1) )ist und dabei benutzen wie man g' aus f' bestimmt. weil man f(g)=x differenzieren kann
Gruß lul

Answer 4

c) Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion sagt kurz:

\(   g'(y) = \frac{1}{f'(x)}\)  wenn f(x)=y

Bei dir ist y=ln(3), also x=1 .

Also gilt \(  g'(ln(3)) = \frac{1}{f'(1)}= \frac{3}{7} \)

Answer 5

Ableitung über die Umkehrregel.

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

$$g'(x) = \frac{1}{g^{-1'}(g(x))} = \frac{1}{f'(g(x))} \newline g'(\ln3) = \frac{1}{f'(g(\ln3))} \newline g'(\ln3) = \frac{1}{f'(1)} \newline g'(\ln3) = \frac{1}{\frac{7}{3}} \newline g'(\ln3) = \frac{3}{7}$$

Comments

Abschreiber. Hat mathef alles schon gezeigt.

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Bei mathef habe ich die aus der Schule bekannte Formel

$$g'(x) = \frac{1}{g^{-1'}(g(x))} $$

vermisst, auch wenn sie in der Schule tatsächlich mit f statt g notiert wird.

Ebenso finde ich es nützlich über Wikipedia ein paar Hintergrundinfos und andere Beispiele zur Regel zu bekommen, wenn man damit noch Probleme hat.

Und ja. Nur ggT22 hat hier den Begriff der Umkehrregel überhaupt genannt damit der Fragesteller auch mal selber recherchieren kann.

Zu b) hätte ich nur erwähnt

Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton (wachsen oder fallend) sind.

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Den Link zu Wikipedia hat ggT22 genannt, mathef hat es Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion genannt, wie es auch in der Aufgabe steht (und was einen auch auf den entsprechenden Wikipediaeintrag verweist). So etwas selbstständig zu recherchieren, sollte von einem Studenten erwartet werden können. Die Ableitung der Umkehrfunktion wird meistens schon gar nicht mehr in der Schule behandelt, weshalb diese Formel sehr wahrscheinlich nicht bekannt ist. Zumindest nicht aus der Schule.

Fazit: Die Antwort hat keinerlei Mehrwert und dient wie üblich demselben Zweck.

Wenn du eine Frage beantwortest, die schon beantwortet worden ist, dann bitte nur, wenn du etwas Eigenständiges hinzufügen kannst und nicht, wenn du nur das wiederholst, was andere vor dir schon geschrieben haben.

Quelle: FAQ

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Ich habe dein Kommentar zur Kenntnis genommen. Ich stimme dir nicht zu und damit ist das Thema für mich erledigt.