ax³+bx²+c - Funktion aufstellen

Question

Angabe:

f(x)= ax³+bx²+c

f hat in P (3/3) einen Wendepunkt

die Wendetangente ist Wirkelhalbierende des 1. Quadranten

Ich soll f(x) aufstellen.

mit f´´(3)=0 komm ich auf b=0

dann f(3)=3 --> 3=27a+c

Die Winkelhalbierende ist t=x

Aber weiter weiß ich nicht. (Lösung: -1/27(x³-9x²-27))


und dann kommt noch die Gerade g(x)=-1/3(x²-3x-9) dazu.. man soll die Schnittpunkte ausrechnen.

Ich hab dann versucht eine Polynomdivision zu machen mit:

(8/27x³+7/3x²-1x-2):(x-3)=.... die PD geht aber nicht auf

Answer 1

f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ´( 3 )  = 3 * 3^2 * a + 2 * 3 * b = 27a + 6b = 1
f ´´ ( 3 ) = 6 * 3 * x + 2 * b = 18a + 2b = 0
damit kannst du a und b berechnen
f ( 3 ) = a * x^3 + b *x^2 + c = 3
damit kannst du c bestimmen

Gerade g(x)=-1/3(x²-3x-9). Ist aber keine Gerade.

Soweiit bis hier.

mfg Georg

Answer 2

Zunächst die Zielfunktion und deren ersten beiden Ableitungen:

f ( x ) = a x ³ + b x ² + c

f ' ( x ) = 3 a x ² + 2 b x

f ' ' ( x ) = 6 a x + 2 b

 

Aus den Informationen der Aufgabenstellung ergeben sich folgende Aussagen über f:

1) f hat in P (3/3) einen Wendepunkt

also:

f ( 3 ) = 3

und

f ' '  ( 3 ) = 0

2) die Wendetangente ist Winkelhalbierende des 1. Quadranten

also ist die Steigung im Wendepunkt gleich der Steigung der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten - und die ist 1, also:

f ' ( 3 ) = 1

 

Es ist also folgendes Gleichungssystem zu lösen:

f ( 3 ) = 27 a + 9 b + c = 3

f ' ( 3 ) = 27 a + 6 b = 1

f ' ' ( 3 ) = 18 a + 2 b = 0

Löst man dieses Gleichungssystem (dabei hast du hoffentlich keine Probleme...?) so erhält man:

a = - 1 / 27

b = 1 / 3

c = 1

und somit für die gesuchte Funktion f ( x )

f ( x ) = a x ³ + b x ² + c = ( - 1 / 27 ) x ³ + ( 1 / 3 ) x ² + 1

 

Hier ein Schaubild des Graphen von f ( x ) und der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2C+%28-x%C2%B3%2F27%29%2B%28x%C2%B2%2F3%29%2B1+from+0+to+8+

Answer 3

 

f(x)= ax³+bx²+c

f'(x) = 3ax² + 2bx

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a

 

Wendepunkt in P(3|3):

I. f(3) = 27a + 9b + c = 3

II. f''(3) = 18a + 2b = 0

 

Die Wendetangente ist Wirkelhalbierende des 1. Quadranten:

III. f'(3) = 27a + 6b = 1

 

Daraus ergibt sich

a =  -1/27

b = 1/3

c = 1

 

f(x) = -1/27 * x³ + 1/3 * x² + 1

 

Um die Schnittpunkte mit der Funktion

g(x)=-1/3(x²-3x-9) zu berechnen, musst Du die beiden Funktionsgleichungen gleich setzen!

Also:

- 1/27 * x³ + 1/3 * x² + 1 = -1/3 * x³ + x + 3

- 1/27 * x³ + 9/27 * x³ + 1/3 * x² - x - 2 = 0

8/27 * x³ + 1/3 * x² - x - 2 = 0 | hier habe ich etwas anderes als Du; falls ich mich nicht verrechnet habe, probierst Du vielleicht damit mal die Polynomdivision - was ich mir jetzt aber erspare :-)

 

 

Besten Gruß