Hallo Mathelounge community,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte und mir sagen kann, ob die methode richtig ist oder ab man eine andere anwenden muss.
Danke im voraus!
Aufgabe:
Fur n ∈ N sei
an := bn := \( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \)
und
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n} \)
cn := \( \sum\limits_{k=0}^{n}{an-kbk} \)
Zeigen Sie, dass die Reihen \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \) und \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn} \) konvergieren, aber ihr CauchyProdukt \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn} \) nicht konvergiert.
Problem/Ansatz:
1)
Konvergenz der Rheihen \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \) und \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn} \) :
Wir betrachten die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) \( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \) Um die Konvergenz zu zeigen, verwenden wir das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen:
Die Folge | \( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \) | = \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) ist monoton fallend.
Der Grenzwert der Folge ist \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) = 0
Da beide Bedingungen des Leibniz-Kriteriums erfüllt sind, konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) \( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \)
Daher konvergiert sowohl \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \) als auch \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn} \).
Divergenz des Cauchy-Produkts \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn} \).
Das Cauchy-Produkt der Reihen \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \) und \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{bn} \) ist gegeben durch:
cn = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{an-kbk} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{(-1)^(n-k)}{\sqrt{n-k+1}}* \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}} \)
Dies vereinfacht sich zu:
vn = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}} \)
Um zu zeigen, dass \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn} \) nicht konvergiert, betrachten wir den asymptotischen Wert von cn. Für große n wird der Ausdruck \sqrt{(n-k+1)(k+1)} dominieren. Insbesondere ist der Hauptterm von cn proportional zu
cn ≈ \( \frac{(-1)^n}{n} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{1} \) = \( \frac{(-1)^n (n+1)}{n} \) = (-1)^n (1+ \( \frac{1}{n} \) )
Der Ausdruck (-1)^n (1+ \( \frac{1}{n} \)) ändert das Vorzeichen, nähert sich aber im Betrag 1 für große n
damit ist
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn} \)
eine alternierende Reihe, deren Terme im Betrag nicht gegen 0 gehen. Daher kann die Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{cn}\)
nicht konvergieren.
