Matrizenmultiplikation und Determinante

Question

Wenn A und B zwei quadratische Matrizen sind, gilt ja det(AB) = det(BA). Gilt dann auch das det(AB - t*E) = det(BA - t*E) ist, wobei E die Einheitsmatrix und t ein Skalar ist?

Answer 1

(AB-tE)^T = (AB)^T-tE = B^TA^T-tE, nun bilde die Determinante, die ändert sich beim Transponieren nicht.

Comments

Aber warum gilt det(B^T A^T - tE)

= det(BA - tE).  Also det(B^T A^T) = det(BA) ist klar, aber da ist ja noch das -tE.

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Gut, das ist nicht klar.

Die Newtonschen Formeln für symmetrische Polynome zeigen den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Potenzsummen der Nullstellen.

Hier gilt a_i = -1/i Σ a_j spur(A^i-j), Summe von 0 bis i-1. Und die Argumente der Spur können vertauscht werden.

Das war zugegebenermaßen ein starkes Geschütz; vielleicht geht es einfacher.

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Danke Dir! :)