Ist A ⊆ C[0, 1] gleichgradig stetig, dann auch A.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie Bemerkung 5.7 aus der Vorlesung: Ist \( A \subseteq \mathcal{C}[0,1] \) gleichgradig stetig, dann auch \( \bar{A} \).

Wie kann ich hier vorgehen?

Answer 1

Hier kannst du den \(3\varepsilon\)-Trick anwenden:
Zu \(\varepsilon>0\) und beliebigem \(f \in \bar A\) wähle \(g \in A\) mit

\(||f-g||_\infty < \varepsilon \quad (1)\)

Nun kommt der Trick:
$$|f(x) - f(y)| \leq |f(x) - g(x)| + |g(x) - g(y)| + |g(y) - f(y)|< 3\varepsilon$$

Für \(|g(x) - g(y)|\) verwendest du die gleichgradige Stetigkeit von A. Für die anderen beiden Beträge verwendest du (1).

Probier mal.