Aloha :)
Betrachte eine Zufallsgröße \(X\) mit \(N\) möglichen Ausgängen \(x_k\), die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(p_k\) eintreten. Dann ist die Varianz dieser Zufallsgröße:$$V(X)=\sum\limits_{k=1}^Np_k\cdot(x_k-\mu)^2\quad;\quad\mu\coloneqq\sum\limits_{k=1}^Np_kx_k$$
Darin ist \(\mu\) der exakte Erwartungswert.
Im Regelfall ist es jedoch so, dass man die \(N\) möglichen Ausgänge \(x_k\) oder deren Eintrittswahrscheinlickeiten \(p_k\) gar nicht alle genau kennt. In diesen Fällen nimmt man sich dann eine Stichprobe mit \(n\) Elementen (das kleine "n" ist die Größe der Stichprobe, im Unterschied zum großen "N", das die Anzahl aller möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes beschreibt.). Jedes dieser \(n\) Elemente wird mit derselben Eintrittswahrscheinlichkeit \(p_k=\frac1n\) gewichtet und an die Stelle des exakten Erwartungswertes \(\mu\) tritt der Mittelwert \(\overline x\) der Stichprobe:$$\blue{V(X)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)^2\quad;\quad\overline x=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nx_k}$$
Diese Formel ist jedoch nicht ganz richtig (deswegen habe ich sie in blau dargestellt). Hintergrund ist, dass der Mittelwert \(\overline x\) gegenüber dem (unbekannten) exakten Erwartungswert \(\mu\) eine Abweichung enthält. Diese Abweichung wird umso kleiner, je mehr Elemente wir in der Stichprobe haben, also je größer \(n\) ist. Diese Abweichung pflanzt sich in die Berechnung der Varianz fort und wird in der blauen Formel nicht berücksichtigt. Die blaue Formel unterschätzt daher die tatsächliche Varianz der Stichprobe.
In einer etwas längeren Rechnung kann man aber zeigen, dass sich dieses Unterschätzen dadurch "heilen" lässt, dass man in der Varianz den Vorfaktor \(\frac1n\) durch den Vorfaktor \(\frac{1}{n-1}\) ersetzt:$$V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)^2\quad;\quad\overline x=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nx_k$$
