Hi,
ich hätte mal eine Frage, ob ich das Konzept der Diagonalisierbarkeit richtig verstanden habe.
Eine quadratische (n x n)-Matrix A bzw. die lineare Abbildung (Endomorphismus) f ,welcher A als darstellende Matrix hat (bel. Basis) hat, heisst ja diagonalisierbar, wenn A geschrieben werden kann als A = TDT^-1,
wobei D eine Diagonalmatrix und T eine invertierbare Matrix ist.
T ist ja die Matrix mit den Eigenvektoren von A als Spalten und D die Matrix mit den Eigenwerten von A als Diagonaleinträge.
Das vollständige Kriterium sagt ja dann:
A ist diagnostisierbar genau dann, wenn das charakteristische Polynom in LF zerfällt und die alg. und geom. Vielfachheiten aller Eigenwerte gleich sind. Das mit den Zerfallen muss ja für die Existenz von D gelten, da die Matrix ja sonst keine Eigenwerte hätte und mit den Vielfachheiten muss dann ja für sie Existenz für T als invertierbare Matrix gelten, da sie nur invertierbar sein kann, wenn sie n-linear unabhängige Eigenvektoren hat, also wenn zu jedem Eigenwert auch ein Eigenvektor (bis auf Skalierung) existiert, s.d. man am Ende zu n-Eigenwerten auch n- lin. unabh. Eigenvektoren hat. (Denn erst dann hätte sie ja die volle Rangeigenschaft rng(T) = n erfüllt)
Frage: Habe ich das alles so richtig verstanden?
