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Aufgabe:

sei f:Mat(2,ℂ)→Mat(2,ℂ): C ↦ CD

z.z: char Polynom x_f = x_D^2

Warum ist f diagonalisierbar, wenn D es ist

Problem/Ansatz:

Wie lässt sich x_f berechnen?

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D ∈ Mat(2,ℂ)

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Wie lässt sich x_f berechnen?

Ich führe das hier mal vor:

Sei \(E_{ij}\) die 2x2-Matrix, die an der Stelle (i,j) eine 1 hat und

an allen anderen Stellen 0. Dann ist \((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\) eine

Basis des Raumes der 2x2-Matrizen. In dieser Basis sei

\(D=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}\).

Dann hat man

\(f(E_{11})=aE_{11}+cE_{21}\)
\(f(E_{12})=aE_{12}+cE_{22}\)
\(f(E_{21})=bE_{11}+dE_{21}\)
\(f(E_{22})=bE_{12}+dE_{22}\).

\(f\) wird also durch folgende Matrix dargestellt:

\(A_f=\left(\begin{array}{cccc}a&0&b&0\\0&a&0&b\\c&0&d&0\\0&c&0&d\end{array}\right)\).

Das charakteristische Polynom von \(f\) ist dann

\(\chi_f=\det(xI_4-A_f)\).

Zur Berechnung der Determinante vertauschen wir die Zeilen 2 und 3,

und hernach die Spalten 2 und 3. Es ergibt sich eine Blockdeterminante, deren

Wert das Produkt der Determinanten der beiden gleichen 2x2-Blöcke ist:

Diese Determinanten sind gerade die charakteristischen Polynome von \(D\).

Also gilt \(\chi_f=\chi_D\cdot \chi_D=(\chi_D)^2\).

Avatar von 29 k

Vielen Dank wurde nun verständlicher und wie hängt die Diagonalisierbarkeit von f mit der von D zusammen?

Was weißt du denn bezüglich Diagonalisierbarkeit
und z.B. Minimalpolynom.
Hier solltest du selbst forschen.
Ich habe den schwierigeren Algebra-Teil
für dich gelöst.

A ist diagonalisierbar wenn es paarweise verschiedenen Eigenwerte von A hat im Minimialpolynom

Es gilt sogar:

A ist genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom

in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

D.h. man muss das Minimalpolnyom berechnen und wenn dieses in verschiedene Linearfaktoren zerfällt ist es diagonalisierbar?

Bzw. was hilft uns die gefundene Information weiter?

Bzw. was hilft uns die gefundene Information weiter?

Das ist mir auch nicht klar :(

Geht es evtl auch ohne?

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