Wie lässt sich x_f berechnen?
Ich führe das hier mal vor:
Sei \(E_{ij}\) die 2x2-Matrix, die an der Stelle (i,j) eine 1 hat und
an allen anderen Stellen 0. Dann ist \((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\) eine
Basis des Raumes der 2x2-Matrizen. In dieser Basis sei
\(D=aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}\).
Dann hat man
\(f(E_{11})=aE_{11}+cE_{21}\)
\(f(E_{12})=aE_{12}+cE_{22}\)
\(f(E_{21})=bE_{11}+dE_{21}\)
\(f(E_{22})=bE_{12}+dE_{22}\).
\(f\) wird also durch folgende Matrix dargestellt:
\(A_f=\left(\begin{array}{cccc}a&0&b&0\\0&a&0&b\\c&0&d&0\\0&c&0&d\end{array}\right)\).
Das charakteristische Polynom von \(f\) ist dann
\(\chi_f=\det(xI_4-A_f)\).
Zur Berechnung der Determinante vertauschen wir die Zeilen 2 und 3,
und hernach die Spalten 2 und 3. Es ergibt sich eine Blockdeterminante, deren
Wert das Produkt der Determinanten der beiden gleichen 2x2-Blöcke ist:
Diese Determinanten sind gerade die charakteristischen Polynome von \(D\).
Also gilt \(\chi_f=\chi_D\cdot \chi_D=(\chi_D)^2\).
