Aufgabe:
Finden Sie eine Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten, die
-über R diagonalisierbar ist, (I)
-über Z/5Z trigonalisierbar aber nicht diagonalisierbar ist und (II)
-über Q nicht trigonalisierbar ist. (III)
Problem/Ansatz:
Meine Gedanken zu dieser Aufgabe sind etwas durcheinander.
(I) bedeutet, dass das Minimalpolynom sich in Linearfaktoren aufteilt, wobei jede Nullstelle des Min.Poly verschieden ist.
(II) bedeutet, dass das char.Polynom sich in Linearfaktoren aufteilt, jedoch muss mind. 1 eine der Nullstellen des char.Polynom mehrfach vorkommen (da ansonsten das Min.Poly bei verschiedenen Nullstellen diagonalisierbar wäre).
(III) bedeutet, dass das char und Min.Poly sich nicht in Linearfaktoren aufteilen sollen.
Mein Problem ist, dass ich an dem ganzzahlig festhänge und allgemein mir nur diese Ansätze eingefallen sind, welche mir so nicht weiterhelfen. Besonders große Probleme finde ich zwischen (II) und (III), denn aus meiner Sicht sehe ich keine Nullstelle in (II), welche in (III) gar nicht möglich wäre. $$Z/5Z \in Q$$, von daher sehe ich da nicht viel, was möglich ist.
Ein kleiner Gedanke war noch die Idee der Irreduzibilität, aber selbst diese bringt mich nicht weiter.
Ich freue mich über jeden Tipp, den ich kriege!
Ivan
Z/5Z $$\in$$
