Tri-,Diagonalisierbarkeit

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten, die

-über R diagonalisierbar ist, (I)

-über Z/5Z trigonalisierbar aber nicht diagonalisierbar ist und (II)

-über Q nicht trigonalisierbar ist. (III)

Problem/Ansatz:

Meine Gedanken zu dieser Aufgabe sind etwas durcheinander.

(I)  bedeutet, dass das Minimalpolynom sich in Linearfaktoren aufteilt, wobei jede Nullstelle des Min.Poly verschieden ist.
(II) bedeutet, dass das char.Polynom sich in Linearfaktoren aufteilt, jedoch muss mind. 1 eine der Nullstellen des char.Polynom mehrfach vorkommen (da ansonsten das Min.Poly bei verschiedenen Nullstellen diagonalisierbar wäre).
(III) bedeutet, dass das char und Min.Poly sich nicht in Linearfaktoren aufteilen sollen.

Mein Problem ist, dass ich an dem ganzzahlig festhänge und allgemein mir nur diese Ansätze eingefallen sind, welche mir so nicht weiterhelfen. Besonders große Probleme finde ich zwischen (II) und (III), denn aus meiner Sicht sehe ich keine Nullstelle in (II), welche in (III) gar nicht möglich wäre. $$Z/5Z \in Q$$, von daher sehe ich da nicht viel, was möglich ist.

Ein kleiner Gedanke war noch die Idee der Irreduzibilität, aber selbst diese bringt mich nicht weiter.

Ich freue mich über jeden Tipp, den ich kriege!

Ivan

Z/5Z $$\in$$

Comments

Vielleicht passt \(M=\begin{pmatrix}0&1\\5&0\end{pmatrix}\) ?

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Mal sehen:
Char.Polynom der Matrix ist in R und Q (x²-5); in Z/5Z x².

In (I) ergibt das + und - 5^(1/2). Das geht in R, aber nicht in Q. Also gilt das bis jetzt für (I) und (III), da das char Poly auch den kleinsten Grad 2 hat.
In (II) ergibt das die zweifache Nullstelle 0. Doppelte Nullstelle => trigaonalisierbar, aber nicht diagonalisierbar.

Danke Spacko!
Die Frage klingt dumm, aber wie kamst du darauf? Ich hatte nur Ansätze, aber keine Idee, diese auszuarbeiten.

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Dein Ansatz, zunächst ein geeignetes charakteristisches Polynom zu finden, ist nicht schlecht. Nun brauchst du nur noch eine Matrix, die dieses hat, z.B. die Frobenius-Begleitmatrix.