Summe, Summenzeichen berechnen

Question

Hallo,

es geht um das Rechnen mit Summenzeichen. Könnte mir jemand bei den 3 Aufgaben helfen? Bitte mit ausführlichem Lösungsweg und Erklärungen, damit ich es verstehen / nachvollziehen kann.

1) $$\sum \limits_{k=0}^{96}\begin{pmatrix} 96\\k \end{pmatrix} 3^{96-k}5^{k}$$

2) $$\sum \limits_{k=1}^{5}\sum \limits_{i=1}^{4}\frac{i^2+4}{k}$$

3) $$\sum \limits_{k=6}^{9}k*\frac{(k-1)!}{k!}$$   (das Sternchen steht für Multiplikation)

Comments

Verstehst Du nicht, was das Summenzeichen bedeutet, oder kannst Du nicht die 97 (Aufgabe 1), 20 (Aufgabe 2) bzw. 4 (Aufgabe 3) Summanden ausrechnen und addieren?

Answer 1

Aloha :)

Bei (1) hilft die allgmeine binomische Formel \((a+b)^n=\sum_{k=0}^na^{n-k}b^k\) weiter:$$\sum\limits_{k=0}^{96}\binom{96}{k}3^{96-k}5^k=\left(3+5\right)^{96}=8^{96}$$

Bei (2) hilft allgemeine Distributivgesetz \(\sum_{i=1}^n x_i\cdot\sum_{k=1}^m y_k=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^mx_i\cdot y_k\)$$\sum\limits_{k=1}^5\sum\limits_{i=1}^4\frac{i^2+4}{k}=\sum\limits_{k=1}^5\frac{1}{k}\cdot\sum\limits_{i=1}^4(i^2+4)$$$$\quad=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(5+8+13+20\right)$$$$\quad=\frac{60+30+20+15+12}{60}\cdot46=\frac{137}{60}\cdot46=\frac{137\cdot23}{30}=105\frac{1}{30}$$

Bei (3) ist nur eine Vereinfachung nötig:$$\sum\limits_{k=6}^9k\cdot\frac{(k-1)!}{k!}=\sum\limits_{k=6}^9\frac{k\cdot(k-1)!}{k!}=\sum\limits_{k=6}^9\frac{k!}{k!}=\sum\limits_{k=6}^91=4$$

Comments

Vielen Dank!

Aber: Könnte es sein das bei 2) ein kleiner Rechenfehler drin ist? Ich komme da auf 3151/30 = 105 1/30   :)

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Ja, du hast natürlich Recht. Ausgerechnet beim letzten Schritt habe ich den Taschenrechner benutzt und mich natürlich prompt vertan. Habe es oben korrigiert ;)

Answer 2

1) binomischer Lehrsatz. Das ist gleich (3+5)^(96) .

Answer 3

3) k * (k-1)! ist k!, also ist die Funktion gleich eins.