Summenzeichen, Summe lösen

Question

Aufgabe:

(iii) \( \sum \limits_{k=4}^{113} k^{4}-\sum \limits_{k=1}^{112}(1-k)^{4} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ob ich irgendwas im Skript übersehen habe, aber ich kriege es einfach nicht hin diese Summe auszulösen.

Scheitere schon an dem k^4 also für mich ist das keine Arithemtische und auch keine Geometrische Summe und ich kriege sie auch nicht so aufgelöst das sie in einer der Formen ist

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=1}^{112}(1-k)^4=\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=0}^{111}(1-(k+1))^4=\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=0}^{111}k^4$$$$=(113)^4+(112)^4+\sum\limits_{k=4}^{111}k^4-\left(0^4+1^4+2^4+3^4+\sum\limits_{k=4}^{111}k^4\right)$$$$=113^4+112^4-1^4-2^4-3^4=320\,399\,199$$

Comments

Vielen dank, in der ersten Zeile wo du das ( 1 - (k+1))^4 würde ich schreiben

(1 - k -1 )^4 = -k^4 warum ist bei dir das Minus weg ?

Und kannst du dir mein Kommentar von oben vielleicht noch durchlesen? Da ist eine andere Aufgabe einer Summe bis N die wir lösen sollen

---

Ah (-1)^4 * k^4 = k^4

Answer 2

In der 2. Summe kannst du (k-1)⁴ schreiben, weil (k-1)⁴ = (1-k)⁴

also: 4⁴+5⁴+6⁴+...+111⁴+112⁴+113⁴  -   ( 0⁴+1⁴+2⁴+3⁴+4⁴+5⁴...+111⁴)

        = 112⁴+113⁴  -1-2⁴-3⁴  = 320399199

         rot fällt weg.

Answer 3

Versuche dir mal die Summanden im Einzelnen vorzustellen, dann sieht das so aus :

4^4 + 5^4 + 6^4 + 7^4 + …. +111^4 + 112^4 + 113^4  -  ( 0^4 + (-1)^4 + (-2)^4 + (-3)^4 + …. +(-111)^4  )

Da aber z.B. 5^4 und (-5)^4 den gleichen Wert haben, heben sich viele Summanden gegenseitig

auf und es bleiben nur von der ersten Summe die letzten beiden und davon werden die ersten 4 der

2. Summe subtrahiert also 112^4 + 113^4  -  ( 0^4 + (-1)^4 + (-2)^4 + (-3)^4 )

Das kann man ja leicht ausrechnen.

Comments

Also geht es hier nicht darum die Summe aufzulösen sondern den Zusammenhang zu sehen?

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{N}\left((k+1)^{2}-k^{2}\right) \)

 Hier dann das selbe mit dem (k+1)^2 und dem k^2?

für (k+1)^2 = 2^2  3^2  4^2 ....

für k^2 = 1^2 2^2 3^3

Sagen wir mal N = 5 dann würde am Ende noch 1^2 - 6^2 übrigbleiben also könnte man auch schreiben (N+1)^2 - (N-(N-1))^2