Inwiefern ist die erste Summe äquivalent zur zweiten? (Summenzeichen)

Question

Inwiefern ist die erste Summe äquivalent zur zweiten? Wenn man Zahlen einsetzt, sieht man doch das das nicht stimmen kann

Text erkannt:

Beispiel. Es sei \( A(n) \) die Aussage
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} $$
Offensichtlich ist \( A(1) \) wahr, da \( \sum \limits_{k=1}^{1} k=1=1 \cdot 2 / 2 \) ist. Ist nun \( A(n) \) wahr, dann gilt
$$ \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} k &=\sum \limits_{k=1}^{n} k+(n+1) \\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ &=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{aligned} $$

Answer 1

Aloha :)

Von der ersten Summe wurde der oberste Summanden mit \(k=n+1\) abgespalten:$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k=\underbrace{1+2+3+\cdots+n}_{=\sum\limits_{k=1}^nk}+(n+1)=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)+(n+1)$$

Comments

Dankeschön! :)

Answer 2

$$\quad \sum_{k=1}^{n+1}{k}=1+2+3+4+\cdots +n+(n+1)$$$$\left(\sum_{k=1}^{n}{k}\right)+(n+1)=1+2+3+4+\cdots + n+(n+1)$$ Mit Klammern wird es klarer. Also es gilt nicht etwa:$$\sum_{k=1}^{n}{k+(n+1)}\neq 1+(n+1)+2+(n+1)+3+(n+1)+\cdots +n+(n+1)$$

Comments

Stimmt durch die Klammern erkennt man viel besser was gemeint ist! Dankeschön.

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Ja, es ist eigentlich fatal, dass man Lernende mit so einer Unklarhheit konfrontiert. Klammern sind eigentlich Pflicht. Das vermeidet Irrtümer. Denn es ist tatsächlich so, dass man das auf zwei Wegen interpretieren kann.