Sinn und Nutzen von Limits bzw. lim∆x→0

Question

Verstehe Ableitungen und Integration, jedoch ein Thema, welches mir bis huete nicht in den Sinn laufen möchte ist limits bzw. lim.

•  Diee Ableitung benutzt man ,um die Steigung an einem bestimmten Punkt zu erhalten.

• Die zweite um den Wendepunkt herauszufinden und ,ob der im 1. berechnete Punkt ein TP oder HP ist.

Was ist der Sinn von Limes/Limits? Meist geschrieben folgendermaßen: lim∆x → 0 (f(x)-(fx0))/∆x.

Zudem weiß ich dass man hier bei sich fragt "Was passiert wenn ∆x dem Wert 0.0000 nah kommt."

Aber ich habe absolut keinen Plan, wofür, wann, weshalb und wie man Limits/limes/lim benötigt, aufschreibt, benutzt.

Integration wird verwendet um die Fläche unter einer Funktion zu berechnen, das ist hilfreich und macht Sinn, aber lim scheint absolut sinnlos zu sein :( und meistens werden gerade solch Thematik nie näher im Unterricht diskutiert. Hoffe das Missverständnis ist nachvollziehbar.

Answer 1

Hier sind zwei Funktionen:

• f(x) = sin(x) / x
• g(x) = sin(1/x)

Keine dieser beiden Funktionen ist an der Stelle 0 definiert, da durch 0 nicht dividiert werden kann.

Kann man der Funktion an der Stelle 0 einen Funktionswert geben, der sich nahtlos in die umgebenden Funktionswerte  einfügt? Falls ja, dann heißt dieser Wert Grenzwert der Funktion für x → 0.

Schau dir die Graphen der beiden Funktionen mal an und rate was die Grenzwerte sein könnten.

lim_{∆x → 0} (f(x)-(fx₀))/∆x.

Korrekt ist

        lim_{∆x → 0} (f(x+∆x)-f(x))/∆x.

Das ist die Ableitung von f an der Stelle x. Die Antwort auf die Frage, was der Sinn von Limes sei, ist also: um zu definieren, was die Ableitung einer Funktion ist. Enfach zu definieren, dass die Ableitung die Steigung der Funktion sei, ist nämlich für Mathematiker nicht präzise genug. Auch meine Aussage von oben, der Grenzwert sei ein Wert, der sich nahtlos in die umgebenden Funktionswerte einfügt, ist nicht präzise genug. Präziser ist das sogenannte ε-δ-Kriterium. Das ist aber aus dem Lehrplan rausgeflogen.

Sämtliche Ableitungsregeln lasen sich aus der Definition f'(x) = lim_{∆x → 0} (f(x+∆x)-f(x))/∆x herleiten.

Die zweite um den Wendepunkt herauszufinden und ,ob der im 1. berechnete Punkt ein TP oder HP ist.

Beides beruht darauf, dass die zweite Ableitung das Krümmungsverhalten der Funktion angiebt.

Ist die zweite Ableitung in einem Intervall positiv, dann steigt die erste Ableitung, das heißt die Steigung wird immer größer, also beschreibt die Funktion eine Linkskurve. Ist an einer Stelle einer Linkskurve die Steigung 0, dann ist dort ein Tiefpunkt.

Ist die zweite Ableitung in einem Intervall negativ, dann fällt die erste Ableitung, das heißt die Steigung wird immer kleiner, also beschreibt die Funktion eine Rechtskurve. Ist an einer Stelle einer Rechtskurve die Steigung 0, dann ist dort ein Hochpunkt.

Ist die zweite Ableitung 0, dann liegt überhaupt keine Krümmung vor. Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die Funktion dort von einer Rechts- in eine Linkskurve übergeht oder umgekehrt.