Grenzwert (a(n))/(b(n))=0

Question

Sei (a(n)) n∈ℕ eine beschränkte Folge und sei (b(n)) n∈ℕ eine Folge, die gegen unendlich konvergiert.
Zeige, dass lim a(n)/b(n)=0 gilt.

Answer 1

Da \(a_n\) beschränkt ist, existiert eine Zahl \(K\in\mathbb R\) mit \(\vert a_n\vert< K\) für alle \(n\in \mathbb N\). Da \(b_n\) gegen unendlich konvergiert, ist die Folge insbesondere nicht nach oben beschränkt. Sei nun \(\epsilon>0\) vorgegeben. Es existiert eine Zahl \(N\in\mathbb N\) mit \(b_n>\dfrac K\epsilon\) für alle \(n>N\). Es folgt \(\left\vert\dfrac{a_n}{b_n}\right\vert< K\cdot\dfrac\epsilon K=\epsilon\). Daraus folgt die Behauptung.

Answer 2

Wir bezeichnen die (obere) Schranke von |a(n)| mit M. Sei also \( \epsilon \gt 0 \).

Es existiert ein \( N \) so, dass \( |b(n)| \gt \epsilon M \quad \forall n \gt N\).

Damit ist \( \frac{a(n)}{b(n)} \lt \frac{M}{\epsilon M} = \epsilon \quad \forall n \gt N \)

Comments

\(\dfrac M{\epsilon/M}=\epsilon\) ?

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Sorry, da sich wohl der Fehlerteufel engschlichen. Ich meine natürlich den Kehrbruch, also M/epsilon statt epsilon/M.

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Dann stimmt deine letzte Ungleichung nicht mehr. Der Ansatz \(|b(n)|>\epsilon/M\) ist schon falsch.

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Auch da meine ich den Kehrbruch... (war ein Copy and Paste Fehler.)