Grenzwert von {an}n∈N an = (λ* n) /( n! + 1), λ∈ R beweisen

Question

Aufgabe: "Bewiesen sie, dass {an}n∈N an = (λ* n) /( n! + 1), λ∈ R den grenzwert 0 hat."

Answer 1

an = (λ·n) / (n! + 1) < (λ·n) / n! = (λ·n) / ((n - 1)!·n) = λ / (n - 1)! = 0^{+}

Comments

Ist das dann der ganzer Beweis?

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Ist das dann der ganzer Beweis?

Ja. Aber anhand deiner Nachfrage nehme ich an, du hast das nicht wirklich verstanden. Woran scheiterst du denn?

Du könntest ja noch ein n berechnen, sodass an in der ε-Umgebung um 0 liegt.

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danke für dein Antwort, es ist so, dass die Beweise, die ich normalerweise in meinen Vorlesungen für ähnliche Aufgaben gesehen habe, die ε-Abstraktion des Grenzwertes verwenden.

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Ja. Daher hatte ich gesagt: "Du könntest ja noch ein n berechnen, sodass an in der ε-Umgebung um 0 liegt."

λ / (n - 1)! = 0 + ε kannst du dafür nach n auflösen.

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Wie sieht der ganze Beweis dann aus?

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Wie sieht der ganze Beweis dann aus?

Löse die Gleichung

λ / (n - 1)! = 0 + ε

nach n auf. Du kannst auch eine Abschätzung machen.

Es geht ja nur darum ein n zu finden dass man im ε-Bereich ist.

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Löse die Gleichung

wie macht man das aber? Ich habe es ausprobiert, aber ich konnte nicht weiter kommen.

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ist diese lösung richtig?

Behauptung: lim_n→∞ an = 0
z.Z: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : |(λ* n) / (n! + 1) -0|< ε ∀n ≥ n0 gilt an_0 < ε

|an - 0| = (λ·n) / (n! + 1) ≤ (λ·n) / n! = λ / (n - 1)!
λ/(n -1)! ≤ ε

Sei λ = 0 dann gilt 0_n = 0 ∀n
Sei λ != 0 dann gilt 1/(n -1)! ≤ ε/λ

(n-1)! > λ/ε, dann wählen wir n_0 = λ/ε +2