Fragen zur Aufgabe: Folge (an)n∈N mit a := n/2^n konvergiert

Question

ich habe paar Verständnisfragen zur Lösung einer Aufgabe.

Aufgabe:

Zeigen Sie dass die Folge (a_n)_n∈N mit a := n/2ⁿ konvergiert. Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass für alle “hinreichend großen” Zahlen n ∈ N gilt: n² < 2ⁿ

Lösung:

vollständige Induktion:

IA: Sei n = 5, dann gilt n^2 = 5^2 = 25 < 36 = 2^5 = 2^n

IV: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gilt: n² < 2ⁿ

IS: n -> n+1: 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2 > n² * 2 = (n*\( \sqrt{2} \))² > ((1+1/3)*n)²   = (n + n/3)² > (n+1)²

Nun zu meinen Fragen:

1. Für was dient der Hinweis? Warum muss ich n² < 2ⁿ beweisen?

2. Wie komm ich beim Induktionsschritt von der linken Seite auf die rechte bei
(n*\( \sqrt{2} \))² > ((1+1/3)*n)²

Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen!

Answer 1

Für was dient der Hinweis?

\(n^2< 2^n \implies \frac{n}{2^n} < \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}\)

\(\frac{1}{n}\) ist Majorante von \(\frac{n}{2^n}\).

(n*\( \sqrt{2} \)² > ((1+1/3)*n)²

\((n\cdot\sqrt{2})^2 = n^2\cdot 2 = n^2\cdot \frac{18}{9} > n^2\cdot \frac{16}{9} = n^2\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \left(n\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)\right)^2\)

Comments

Dankeschön für die Hilfe! ich habe noch eine Frage:

In der Lösung hat man dann die Folge (a_n)_n∈N mit dem Einschachtelungssatz (Sandwich - Lemma) zwischen 1/n und 0 gesetzt, also: 0 <= n/2ⁿ < n/n²   = 1/n

Nach dem Einschachtelungssatz folgt ja, dass die Folge n/2ⁿ ebenfalls zu 0 konvergiert, aber meine Frage ist, darf man eine Folge zwischen einer anderen Folge und ihrem Grenzwert eingrenzen und somit ihr Grenzwert bestimmen. Besagt der Satz nicht, dass die Folge zwischen zwei weiteren Folgen gegrenzt werden muss? Vielleicht eine banale Frage, aber ich verstehe nicht ganz, warum das dann gilt: 0 <= n/2ⁿ < n/n²   = 1/n

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In der Lösung hat man dann die Folge (a_n)_n∈N mit dem Einschachtelungssatz (Sandwich - Lemma) zwischen 1/n und 0 gesetzt

Genauer gesagt hat man die Folge \(\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) zwischen die Folge \(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\) und die Folge \(\left(0\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eingeschachtelt.

Besagt der Satz nicht, dass die Folge zwischen zwei weiteren Folgen gegrenzt werden muss?

Er besagt das eigentlich nicht, er verlangt das. Und zwar zwischen zwei Folgen, die den gleichen Grenzwert haben. Er besagt, dass die so eingegrenzte Folge ebenfalls diesen Grenzwert hat.

Welchen Grenzwert hat die Folge \(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)?

Welchen Grenzwert hat die Folge \(\left(0\right)_{n\in\mathbb{N}}\)?

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Alles klar, super! Antwort auf Ihre Frage, Folge (1/n) und Folge (0) haben beide den Grenzwert 0. Darausfolgt, dass die Folge (a_n )  ebenfalls gegen 0 konvergiert.

Dankeschön für die ausführliche Erklärung!

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Ich hätte noch eine verständnisfrage, wie komm ich von hier linken Seite auf die rechte Seite aus ihrem ersten Kommentar: n² < 2ⁿ => n/2ⁿ < n/n²   ?

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Ausmultiplizieren von (1+1/3)*n liefert n+n/3. Wegen n>3 ist n+n/3 > n+1.

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Ich hätte noch eine verständnisfrage, wie komm ich von hier linken Seite auf die rechte Seite aus ihrem ersten Kommentar: n² < 2ⁿ => n/2ⁿ < n/n²

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In den Zahlen \(\frac{n}{2^n}\) und \(\frac{n}{n^2}\) sind die Nenner gleich und beide Zahlen sind größer als \(0\). Deshalb ist die Zahl größer, bei der der Nenner kleiner ist.