Aloha :)
Diese Konvergenzbeweise anhand der Definition sind etwas ungewohnt, wenn man sie zuerst sieht. Wir brauchen zunächst eine Vermutung für den Grenzwert \(a\). Dazu dividieren wir Zähler und Nenner durch \(n^2\).$$a_n=\frac{n^2}{n^2+2n+2}=\frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}$$Da \(\frac{2}{n}\) und \(\frac{2}{n^2}\) mit wachsendem \(n\) gegen \(0\) gehen, vermuten wir den Grenzwert \(a=1\).
Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig und halten es fest, so müssen wir gemäß der Definiton zeigen, dass$$\left|a_n-a\right|<\varepsilon\quad\text{für fast alle \(n\)}$$"Für fast alle \(n\)" heißt, dass wir ein bestimmtes \(n_0\) angeben können, sodass die Ungleichung für alle \(n\ge n_0\) erfüllt ist. Zum Beweis der Konvergenz müssen wir für unser frei aber fest gewähltes \(\varepsilon\) ein solches \(n_0\) finden:
$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{n^2}{n^2+2n+2}-1\right|=\left|\frac{n^2}{n^2+2n+2}-\frac{n^2+2n+2}{n^2+2n+2}\right|=\left|\frac{-2n-2}{n^2+2n+2}\right|$$$$\phantom{\left|a_n-a\right|}=\frac{2n+2}{n^2+2n+2}=\frac{2(n+1)}{(n^2+2n+1)+1}=\frac{2(n+1)}{(n+1)^2+1}<\frac{2(n+1)}{(n+1)^2}=\frac{2}{n+1}$$
Wenn wir nun \(n\) groß genug wählen, dass \(\frac{2}{n+1}<\varepsilon\) gilt, so ist erst recht \(|a_n-a|<\varepsilon\).$$\frac{2}{n+1}<\varepsilon\implies\frac{n+1}{2}>\frac{1}{\varepsilon}\implies n>\frac{2}{\varepsilon}-1\implies n_0\coloneqq\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}-1\right\rceil$$
Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es also ein \(n_0=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}-1\right\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|a_n-1\right|<\varepsilon$$
Die Folge \((a_n)\) konvergiert daher gegen den Grenzwert \(1\).
