wohldefiniert : wohl so:
Einziges Problem würde bei an = 0 .
Dazu müsste vorher 2 - 1/an = 0 gewesen sein , also an = 1/2.
Das ist aber anfangs a ≥ 1 vermieden und du kannst es dann
für alle durch Induktion beweisen: an ≥ 1 ==> an+1 ≥ 1 .
So folgt auch Beschränktheit nach oben durch a
nach unten durch 1.
Monotonie an+1 ≤ an
<=> 2 - 1/an ≤ an | *an geht wegen positiv.
<=> 2an - 1 ≤ an 2
<=> 0 ≤ (an - 1 )2
Und das stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.
Es gibt also einen Grenzwert g und für den gilt dann
g = 2 - 1/g was auf (g-1)^2 = 0 führt,
also g=1.