Question

Für a ≥ 1, a ∈ R sei rekursiv die Folge (an)n∈N reeller Zahlen durch 

a1 := a,  an+1 := 2−(1/an) (n ∈ N) definiert. Zeigen Sie:
(a) Die Folge (an)n∈N ist wohldefiniert, d.h. die obige Rekursion ist für alle n ∈ N sinnvoll;
außerdem ist die Folge monoton fallend und beschränkt.
(b) Sie konvergiert gegen den Grenzwert 1.

Answer 1

Schreibe dir die ersten n Glieder explizit auf. Dann siehst du die explizite Form a_n=n/(n-1)-1/(n(na-n+1)).Mit Hilfe der expliziten Form kannst du die Fragen beantworten?

Answer 2

wohldefiniert  :   wohl so:

Einziges Problem würde bei a_n = 0 .

Dazu müsste vorher  2 - 1/an = 0 gewesen sein , also an = 1/2.

Das ist aber anfangs a ≥ 1 vermieden und du kannst es dann

für alle durch Induktion beweisen:   a_n ≥ 1 ==>  a_n+1 ≥ 1 .

So folgt auch Beschränktheit nach oben durch a

nach unten durch 1.

Monotonie   a_n+1 ≤  a_n 

 <=>  2 - 1/a_n  ≤  a_n     | *a_n geht wegen positiv.

 <=>  2a_n  - 1   ≤  a_n ²

<=>  0  ≤  (a_n - 1 )²

Und das stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.

Es gibt also einen Grenzwert g und für den gilt dann

 g = 2 - 1/g was auf  (g-1)^2 = 0 führt,

also g=1.