Für welche Werte des Parameters a gibt es waagerechte Tangenten an den Graphen von fa?

Question

Aufgabe:

Sei allgemein fa(x)= x+a cosx. Für welche Werte des Parameters a gibt es waagerechte Tangenten an den Graphen von fa?

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das? Das ist die erste Aufgabe mit so einer Aufgabenstellung, habe bissl im Internet recherchiert, aber nichts klares gefunden. Wenn ihr mir die Schritte kurz erklären könntet re es echt gut, ihr müsst die Aufgabe nicht berechnen, das mach ich selber aber wie man so vorgeht, wäre echt nice.

Danke schonmal im voraus

Comments

Setze die 1. Ableitung Null.

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Beim Parameter a (in der Animation grün) gibt es ein Intervall, bei dem die Ableitung f_a' (x) = 1 - a sin x (gelb) keine Nullstelle hat.

Bei allen Werten darunter und darüber für a gibt es waagerechte Tangenten an f (blau), entsprechend den Nullstellen der Ableitung (gelb).

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Da ich gerade ein paar Dinge mit Animation ausprobiert habe, spende ich noch eine zweite Animation zu dieser Aufgabe: Man sieht die waagerechten Tangenten bei Änderungen des Parameters a. Man sieht auch, dass es manchmal keine Tangenten gibt.

Answer 1

f(x) = x + a·COS(x)

f'(x) = 1 - a·SIN(x) = 0 --> x = ARCSIN(1/a) ∨ x = pi - ARCSIN(1/a)

Das Argument von ARCSIN() muss im Intervall [-1 ; 1] liegen.

-1 ≤ 1/a ≤ 1 --> a ≤ -1 ∨ a ≥ 1

Answer 2

f_a(x)= x+a cos x

Waagerechte Tangente bei x, wenn f_a ' (x) =0

f_a' (x)= 1-a sin x = 0   <=>   a sin x = 1

Für a=0 also sicher nicht. Ansonsten durch a dividieren

                              sin(x) = 1/a .

sin(x)=c hat Lösungen für x, wenn c∈[-1;1].

Also  hier  1/a ∈[-1;1].