Aufgabe:
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Teil 1: Analysis Die hier vorliegende Grafik gibt vereinfacht die Anzahl der Besucher in einem Freizeitpark wieder. Die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt \( x \) wird durch die Funktion \( f \) mit
\( f(x)=-125 x^{3}+500 \cdot x^{2}+7500 \cdot x \)
Der Park öffnet um 10 Uhr. Der Park schließt wieder, wenn die Anzahl der Besucher wieder auf 0 sinkt. Die Variable \( x \) gibt die Anzahl der Stunden seit Öffnung des Parks an. \( f(x) \) bestimmt die Anzahl der Besucher im Park zum Zeitpunkt \( x \).
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Besucher im Park eine Stunde nach dessen Öffnung.
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Park um 20:00 Uhr geschlossen wird.
c) Es gilt \( f^{\prime \prime}(x)=-750 x+1000 \).
Zeigen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die meisten Besucher im Park sind.
d) Sie wollen den Zeitpunkt berechnen, an dem der Andrang an den Kassen am größten ist. Geben Sie die Schritte der Lösung an. (Hinweis: Hier soll nichts gerechnet werden.)
e) \( F \) ist die Stammfunktion von \( f \). Interpretieren Sie die Bedeutung des Wertes
\( \int \limits_{0}^{10} f(x) d x=F(10)-F(0)=229167 \)
im Sachkontext.
Teil 2: Analytische Geometrie
Ein U-Boot wird zum Zeitpunkt \( t=0 \) ( \( t \) in Stunden) von einem Flugzeug vom Punkt \( \mathrm{F}\langle 1|1| 0,3\rangle \) aus \( \operatorname{der} \) Richtung \( \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -0,1\end{array}\right) \) und von einem Schiff vom Punkt \( S\langle-2|5| 0\rangle \) aus der Richtung \( \left(\begin{array}{c}4 \\ 3 \\ -0,1\end{array}\right) \) geortet. (Angabe in Kilometern)
a) Geben Sie die Geradengleichungen vom Flugzeug \( g_{F} \) und und Schiff \( g_{S} \) an. Bestimmen Sie ihren Schnittpunkt \( B_{1} \). (Kontrollergebnis: \( B_{1}\langle 6|11|-0,2\rangle \) )
b) Das U-Boot ändert nach 20 Minuten seine Position von \( B_{1}\langle 6|11|-0,2\rangle \) zu \( B_{2}\langle 18|-5|-0,4\rangle \).. Geben Sie eine Geradengleichung für die Fahrtroute des U-Bootes an. Passen Sie dabei den Parameter des U-Bootes auf eine Stunde an.
c) Berechnen Sie die Entfernung, die das U-Boot von \( B_{1} \) zu \( B_{2} \) gemacht hat.
