Wie weiss man ob 2 gerade, 2 ebenen oder eine gerade und eine ebene parallel sind bzw Orthogonal sind?

Question

Aufgabe:

Ich habe fragen bezüglich der Parallelität/kollinearität:

Wie weiss man ob 2 gerade, 2 ebenen oder eine gerade und eine ebene parallel sind bzw. Orthogonal sind? Kann man mit normalenvektor und richtungsvektor z.b wissen ob sie dann senkrecht sind?. Und was für eine Rolle spielt die kollinearität dabei? . Mit welchen Formeln kann man das überprüfen und wie?

Danke im Voraus!

Answer 1

Stelle dir die geometrischen Objekte einmal bildlich vor.

Zwei Geraden sind dann parallel, wenn sie in dieselbe (oder entgegengesetzte) Richtung verlaufen. Ihre Richtungsvektoren sind dann kollinear. Man prüft, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Zwei Geraden sind dann orthogonal, wenn sie sich schneiden und die Richtungsvektoren orthogonal zueinander stehen. Das kann man mit dem Skalarprodukt prüfen.

Eine Gerade und eine Ebene sind parallel, wenn

- der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der Spannvektoren der Ebene ist (die drei Vektoren sind dann linear abhängig oder

- der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist.

Eine Gerade schneidet eine Ebene senkrecht, wenn der Richtungsvektor der Geraden kollinear zum Normalenvektor ist.

Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren kollinear sind.

Zwei schneiden sich senkrecht, wenn die Normalenvektoren orthogonal zueinander stehen.

Wenn du dir die geometrischen Objekte visualisierst (bspw. in GeoGebra), dann lässt sich der Zusammenhang zwischen den Vektoren auch sehr gut sehen.

Comments

Wie kann man das rechnerisch überprüfen

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Das steht in der Antwort:

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind.

Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

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Können bei Ebenen auch z.b der Normalvektor gleich sein aber einen anderen stützvektor haben und sind trotzdem parallel?

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Man unterscheidet zwischen parallel und echt parallel. Letzteres schließt den Fall identisch aus. Zwei Ebenen sind dann identisch, wenn ihre Normalenvektoren kollinear sind und sie mindestens einen gemeinsamen Punkt haben. Nur weil sie unterschiedliche Stützvektoren haben, heißt das also noch nicht, dass sie echt parallel sind. Wenn man die Koordinatengleichung hat, kann man das allerdings sofort sehen: dann sind die beiden Ebenengleichungen nämlich Vielfache und die Ebenen somit identisch.