Aloha :)
Du möchtest gerne die Nuztenfunktion \(U\) unter einer konstanten Kostenfunktion \(K\) optimieren:$$U(x;y)=\left(x^{0,2}+y^{0,2}\right)^{0,05}\to\text{Max!}\quad;\quad K(x;y)=1,5x+2y\stackrel!=440$$
Ohne konstante Nebenbedingung würdest du den Gradienten von \(U\) gleich dem Nullvektor setzen, um die kritischen Punkte \((x;y)\) zu finden. Wenn jedoch konstante Nebenbedingungen vorhanden sind, muss nach Lagrange, der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebnbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}U(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}K(x;y)$$Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der "Lagrange-Multiplikator". Er sollte ungleich Null sein, weil sonst die Nebenbedingung nicht berücksichtigt wird.
Es muss also gelten:$$\binom{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}}=\lambda\cdot\binom{\frac{\partial K}{\partial x}}{\frac{\partial K}{\partial y}}=\lambda\cdot\binom{1,5}{2}$$Um den Lagrange-Multiplikator erstmal loszuwerden, dividieren wir die Gleichung für die zweite Koorinate durch die Gleichung für die erste Koordinate:$$\frac{\frac{\partial U}{\partial y}}{\frac{\partial U}{\partial x}}=\frac{\lambda\cdot2}{\lambda\cdot1,5}=\frac{2}{\frac32}=\frac43$$
Zur Berechnung der partiellen Ableitungen von \(U\) brauchen wir die Kettenregel:$$\frac{\partial U}{\partial x}=0,05\cdot(x^{0,2}+y^{0,2})^{-0,95}\cdot0,2x^{-0,8}=0,05\cdot0,2x^{-0,8}\cdot\frac{(x^{0,2}+y^{0,2})^{0,05}}{\left(x^{0,2}+y^{0,2}\right)^1}$$$$\phantom{\frac{\partial U}{\partial x}}=\frac{1}{20}\cdot\frac15\cdot\frac{1}{x^{0,8}}\cdot\frac{U(x;y)}{x^{0,2}+y^{0,2}}=\frac{U(x;y)}{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}$$Da die Funktionsgleichung \(U(x;y)\) in \(x\) und \(y\) symmetrisch ist erhalten wir die partielle Ableitung \(\frac{\partial U}{\partial y}\) in analoger Weise, wir müssen im Ergebnis \(x\) und \(y\) vertauschen:$$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}$$
Dies setzen wir in die Lagrange-Forderung ein:$$\frac43=\frac{\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}}{\frac{U(x;y)}{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}}=\frac{U(x;y)}{100y^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}\cdot\frac{100x^{0,8}(x^{0,2}+y^{0,2})}{U(x;y)}=\frac{x^{0,8}}{y^{0,8}}=\left(\frac xy\right)^{0,8}$$Diese Gleichung lösen wir nach \(x\) auf:$$\left(\frac43\right)^{\frac54}=\left(\left(\frac xy\right)^{0,8}\right)^{\frac54}=\left(\frac xy\right)^{\frac45\cdot\frac54}=\frac xy\implies\pink{x=\left(\frac43\right)^{\frac54}y\approx1,43276\,y}$$
Die pinke Lagrange-Forderung setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:$$440\stackrel!=1,5x+2y=1,5\cdot\pink{1,43276\,y}+2y=4,14914y\quad\implies\quad y=106,04607$$
Mit der pinken Lagrange-Forderung erhalten wir daher das Optimum bei:$$\pink{\text{Max}(151,9386\,\big|\,106,0461)}$$
Das maximal erreichbare Nutzenniveau ist daher: \(\pink{U_{\text{max}}=1,08668}\)
Der Lagrange-Multiplikator folgt z.B. aus der 2-ten Komponene der Graidentengleichung:$$\lambda=\frac12\,\left.\frac{\partial U}{\partial y}\right|_{(x;y)=(151,9386\,\big|\,106,0461)}\approx0,0000246972$$
