Wie hoch ist die Menge x1 in diesem Nutzenoptimum?!

Question

Aufgabe:

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=x₁^0,4  x₂^0,8. Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1.5 und p2=1.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=110. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

a. Wie hoch ist die Menge x1 in diesem Nutzenoptimum?
b. Wie hoch ist die Menge x2 in diesem Nutzenoptimum?
c. Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Nutzenoptimum?
d. Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau unter gegebener Budgetrestriktion?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen bitte?

Comments

Was hast Du für eine Lagrange-Funktion?

Answer 1

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen bitte?

Lagrange-Funktion aufstellen.

Diese nach x₁, x₂ und λ ableiten.

Jede dieser drei Ableitungen jeweils gleich Null setzen.

Das Gleichungssystem mit den drei Gleichungen lösen.

Für Frage d: Die so ausgerechneten Werte von x₁ und x₂ in die Nutzenfunktion einsetzen.

Comments

Ich habe für x₁  = 24,44 und x₂  = 48,88 und wenn die die zwei in die Nutzenfunktion einsetze, dann bekomme ich 80,63 aber es stimmt leider nicht kannst du mir vielleicht weiterhelfen?

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Ich habe x₁ = 24,44.. und x₂ = 48,89.. und λ = 0,88.., ergibt ein Nutzenmaximum von 80,66...

Siehe oben:

Was hast Du für eine Lagrange-Funktion?

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Nutzenfunktion (p_1,p₂ ) = 1,5p₁ + 1,5p₂ - 110

f₁ = 0,4x1 -0,6  x2 0,8

f2 = 0,8x₁ ^0,4 x₂ ^-0,2

λ= (1,5; 1,5)

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Das was Du aufschreibst ist weder die Nutzenfunktion noch das wonach ich gefragt hatte, sondern die Nebenbedingung (aber jene auch wieder falsch aufgeschrieben). Was hast Du für eine Lagrange-Funktion?

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Bei mir stimmen die Antworten nicht kannst du vielleicht weiterhelfen?

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Ja klar. Deswegen meine Frage: Was hast Du für eine Lagrange-Funktion?

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L(x_1,x₂,λ)= x₁^0,4 x₂^0,8 - λ (1,5x₁ + 1,5x₂ -110)

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Sehr hübsch, das halte ich für richtig. Und schaffst Du die drei Ableitungen?

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Zielfunktion: U = x₁^0,4 x₂^0,8 zu maximieren

Nebenbedingung: 1,5x₁ + 1,5x₂ = 110

Ableitungen der Lagrange-Funktion:

dL / dx₁ = x₁^-0,6 0,4 x₂^0,8 - 1,5 λ = 0

dL / dx₂ = 0,8 x₁^0,4 x₂^-0,2 - 1,5 λ = 0

dL / dλ  = 1,5 x₁ + 1,5 x₂ - 110    = 0