Aloha :)
Wir sollen die Nuzterfunktion \(u(x,y)\) unter der Nebenbedingung \(g(x,y)\) optimieren:$$u(x,y)=x^{0,5}\cdot y^{0,75}\quad;\quad g(x,y)=5x+0,5y-210=0$$Nach Lagrange müssen im Extremum die Gradienten der Funktion \(u\) und der Funktion \(g\) kollinear sein. Bei 2 Dimensionen bzw. 2 Variablen bedeutet dies, dass die beiden Gradienten parallel oder antiparallel sein müssen. Der Proportionaliätsfaktor ist der "Langrange-Multiplikator" \(\lambda\):$$\operatorname{grad}u(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x,y)\quad\Rightarrow\quad\binom{0,5x^{-0,5}y^{0,75}}{0,75x^{0,5}y^{-0,25}}=\lambda\binom{5}{0,5}$$Die beiden Gradienten sind genau parallel oder antiparallel, wenn sie keine Fläche aufspannen, wenn also ihre Determinante gleich null ist:
$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}0,5x^{-0,5}y^{0,75} & 5\\0,75x^{0,5}y^{-0,25} & 0,5\end{vmatrix}=0,25x^{-0,5}y^{0,75}-3,75x^{0,5}y^{-0,25}$$$$\phantom{0}=0,25x^{-0,5}y^{-0,25}\left(\frac{0,25x^{-0,5}y^{0,75}}{0,25x^{-0,5}y^{-0,25}}-\frac{3,75x^{0,5}y^{-0,25}}{0,25x^{-0,5}y^{-0,25}}\right)$$$$\phantom{0}=0,25x^{-0,5}y^{-0,25}\left(y-15x\right)$$Da die Vorfaktoren \(x^{-0,5}\) und \(y^{-0,25}\) nur für \(x,y>0\) definiert sind, ist die einzige Möglichkeit, wie diese Determinante zu null werden kann, wenn gilt:$$y=15x$$
Das brauchen wir nur noch in die Nebenbedingung einzusetzen, um \(x\) und \(y\) zu bestimmen:
$$0=g(x,15x)=5x+7,5x-210\quad\Rightarrow\quad12,5x=210\quad\Rightarrow\quad \boxed{x=16,8}$$$$0=g\left(\frac{y}{15},y\right)=\frac{y}{3}+\frac{y}{2}-210\quad\Rightarrow\quad\frac{5}{6}y=210\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=252}$$
