Tangente durch Punkt Q(0/.1)

Question

Bestimmen sie die Gleichung einer Tangente an Kf die durch den Punkt Q(0/-1) verläuft.

Kf = e^-x

Ich habe y= -x -1 raus bin mir aber nicht so recht sicher ob das stimmt.

Answer 1

Es stimmt nicht, wovon man sich leicht durch z.B. eine Zeichnung überzeugen kann: Die Gerade schneidet die Kurve nichtmal. Die Tangente geht durch die Punkte (0|-1) und (x|e^{x}) mit Steigung -e^{-x}. Damit ist t=-1 und es gilt: $$e^{-x}=-e^{-x}x-1 \Leftrightarrow 1=e{-x} (-1-x) \Leftrightarrow 0=-x ln(-1-x)$$ Die Gleichung hat als einzige Lösung x=-2.

Answer 2

 

abgesehen davon, dass Q(0|-1) nicht auf dem Graphen von f(x) = e^-x liegt, sondern stattdessen der Punkt Q(0|+1), kommen wir beide fast auf das gleiche Ergebnis:

 

Die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion f(x) am Punkt (x₀|f(x₀)) lautet allgemein:

t(x) = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

Bestimmen wir die einzelnen Komponenten:

f(x) = e^-x

f(0) = e^-0 = 1

f'(x) = -1 * e^-x

f'(0) = -1 * e^-0 = -1

Wir setzen ein und erhalten:

t(x) = -1 * (x - 0) + 1 = - x + 1

Besten Gruß