Bestimme die Gleichung der Tangente t an y=x^2 durch den Punkt P(2|f(x))...

Question

Vollständige Aufgabe:

P ist ein Punkt des Graphen von f.

a)   Bestimme die Gleichung der Tangente t durch den Punkt P.

b)    An welcher Stelle schneidet die Tangente die x-Achse?     ->  f mit f(x)= -x^2;  P(2|f(x))

Wir sind gerade bei dem Thema Ableitungen und ehrlich gesagt verstehe is den Zusammenhang nicht.. Ist die Ableitung dasselbe wie die Steigung? Könnte die Aufgabe vielleicht jemand mit Lösungsweg erklären? :/

Vielen Dank :)

Answer 1

Hi,

 

Das hast Du richtig erkannt! Die Ableitung beschriebt die Steigung an einem bestimmten Punkt. Wenn wir uns also die Tangente anschauen wollen, hat diese dieselbe Steigung wie der Graph f an dieser Stelle.

Vervollständigen wir erstmal P -> f(2)=-2²=-4  -> P(2|-4) ist der gesuchte Punkt.

An diesem wollen wir nun Steigung bestimmen. Denn wie gesagt entspricht die Steigung der Funktion f auch der Steigung von t.

f'(x)=-2x -> f'(2)=-4

 

Bei unserer Tangente der Form t=mx+b kennen wir nun also m -> m=-4.
Bleibt noch b zu bestimmen. Das machen wir mit Hilfe von P:

-4=-4*(2)+b |+8
b=4

Unsere Tangente lautet also t(x)=-4x+4

 

Klar? ;)

Comments

Super, vielen Dank, ist ja gar nicht so schwer :)

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Tschuldigung wenn ich noch mal frage, aber wieso rechnest du mit -2 obwohl es doch nur 2 ist

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Ich rechne durchaus nur mit 2. Es heißt aber -x^2. Deshalb -(2)^2 ;).

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Tut mir leid habe nicht genau gelesen.

Ich muss die gleiche Aufgabe machen nur ist meine Gleichung f(x)=x*(2) + 0.5x und mein Punkt ist p(-3|f(-3))

ich habe schon ausgerechnet dass der Punkt P (-3|-10.5) ist aber was muss ich jetzt machen ?:/

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Vorsicht, Du musst auch das negative Vorzeichen mitquadrieren.

f(-3)=(-3)^2+0,5*(-3)=9-1,5=7,5

 

Nun haben wir f(x)=x^2+0,5x. Wir wissen, dass unser Punkt bei x=-3 anliegt. Dort die Steigung, also auch der Steigung der Tangente entsprechen muss.

 

f'(x)=2x+0,5

f'(-3)=-6+0,5=-5,5

 

Unsere Tangente der Form t(x)=mx+b hat also schon ein m=-5,5.

Nun noch den Punkt einsetzen, der ja auch bei der Tangente beinhaltet sein muss:

t(-3)=-5,5*(-3)+b=7,5

b=-9

 

Unsere Tangete lautet also t(x)=-5,5x-9.

 
Du konntest folgen? ;)

 

Btw fürs nächste Mal: Der Übersicht wegen solltest Du Deine Frage als eigenständige Frage stellen, da sie nicht mehr direkt mit der Aufgabe zu tun hat. Dabei kannst Du dann gerne mit Link hierauf verweisen ;).

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Gerne ;)            .

Answer 2

Es gibt hier noch eine sehr leichte Methode, die ich euch nicht vorenthalten möchte.

f(x) = x^2
f'(x) = 2x

Will man jetzt eine Tangente an der Stelle 2 haben ist

x = 2 (Px)
f(x) = f(2) = 4 (Py)
f'(x) = f'(2) = 4 (m)

Damit kann ich die Punkt-Steigungsform der Tangente aufstellen:

t(x) = m * (x - Px) + Py = 4 * (x - 2) + 4 = 4x - 4

Comments

Hier war die Funktion f(x) = x^2 wie in der Überschrift

Unten in der Aufgabe steht auch einmal f(x) = -x^2. Das funktioniert damit genauso und das könntest Du selber mal probieren.