Stetige Funktion rechts-/linksseitiger Grenzwert

Question

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Aufgabe 8 (2 Punkte)
\( \square 0 \)
\( \square 1 \)
Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \) ein Parameter. Sei \( f_{\alpha}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die stetige Funktion mit
\( f_{\alpha}(x)=\left\{\begin{array}{lll} 3 \cos (x) & , & x \geqq-\frac{\pi}{2} \\ \frac{\alpha}{3}\left(x+\frac{\pi}{2}\right) & , & x<-\frac{\pi}{2} \end{array} .\right. \)

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte für \( x_{0}=-\frac{\pi}{2} \) :
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}-0} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\square \quad \frac{\alpha}{3} \quad \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}+0} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\square \)

Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) ist \( f_{\alpha} \) differenzierbar in \( \mathbb{R} \) ?
\( \alpha=9 \)

Woher weiß ich bei folgender Aufgabe, dass ich für den linksseitigen Grenzwert die untere Funktion benutzen soll und nicht die obere. Gibt es generell hier eine Regel? Gibt es neben der Ableitung=Funktion weitere Voraussetzungen für die Stetigkeit?

LG

Answer 1

Aloha :)

Bei Annäherung an das Argument \(x_0=-\frac\pi2\) von links, sind die \(x\)-Werte kleiner als \(-\frac\pi2\).

Bei Annäherung an das Argument \(x_0=-\frac\pi2\) von rechts, sind die \(x\)-Werte größer als \(-\frac\pi2\).

In der Definition der Funktion ist angegeben, dass der obere Funktionsterm für \(x\ge-\frac\pi2\) gilt und der untere Funktionsterm für \(x<-\frac\pi2\).

In der Regel erkennst du also am Definitionsbereich, welchen Funktionsterm du verwenden sollst.

Damit eine Funktion an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar ist, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stele \(x_0\) gleich sein. Das ist hier in der Aufgabe für \(\alpha=9\) der Fall.

Answer 2

f in f1 und f2 aufgespalten ergibt:

f1 = 3cos(x) -> f1' = -3sin(x)

f2 = a/3*(x+pi/2) -> f2' = a/3

f1'(- pi/2) = -3*(-1) = 3

Es muss gelten: (Die Ableitungen müssen übereinstimmen)

a/3 = 3

a= 9