linksseitiger Grenzwert ln(x)*ln(1-x)

Question

Hey:)

Ich hab den Term zu ln(x)/(1/ln(1-x)) umgeformt. Und jetzt müsste ich ja nach Hospital oben und unten ableiten.

Oben wäre es ja 1/x müsste ich für den Term (1/ln(1-x) die Quotientregel anwenden.

Berechnen Sie den Grenzwert
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} \ln (x) \ln (1-x) $$
mit der Regel von de l'Hôpital. 

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

leider genauso spät wie gestern, aber ich schaue nachts öfter nach "Offenen Fragen" :-) 

lim_x→1-  ln(x) * ln(1-x)  =  im_x→1-   ln(x) / [ 1 / ln(1-x) ]    = " 0 / 0"

                              Hospital:   (Zähler und Nenner ableiten)

               =  lim_x→1-   (1/x) / [ 1 / [ (1 - x)·(ln(1 - x))^2 ]       #

                                Umformen:  (Bruch1 / Bruch2 = Bruch3)

               =  lim_x→1-  [ (1 - x)·(ln(1 - x))^2 ]  / x   =  0 / 1  =  0

                    [ Polynom im Zähler (→0) dominiert ln-Term (→ ∞) ]

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#

[ (1 / ln(1-x) ] '  =_{Quotientenregel}    [ 0 * ln(1-x)  - 1 * (-1) / (1-x) ] / (ln(1-x))²

                         =  [ 1 / (1-x) ] / (ln(1-x))²  =  1 / [ (1-x) * (ln(1-x))² ]  

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Gruß Wolfgang