rechts und linksseitiger Grenzwert bestimmen

Question

f(x)= (x+5)/5+x^2 für 0<x<2

0 für x= 2

(x^6-25)/[3(1-x)] für x>2

ich muss den links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x=2 berechnen

ich weiß nicht genau, wie das geht

was mich am meisten verwirrt, ist die Schreibweise mit f(x) = ... für

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x+5}{5+x^2} &\text{für }0<x<2\\[1ex]0 &\text{für }x=2\\\frac{x^6-25}{3(1-x)} &\text{für }x>2\end{array}\right.$$

Beim linksseitigen Grenzwert näherst du dich von links her der \(2\), also ist \(x<2\) und es gilt der erste Fall der Funktionsdefinition:$$\lim\limits_{x\nearrow2}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow2}\left(\frac{x+5}{5+x^2}\right)=\frac{2+5}{5+2^2}=\frac79$$

Beim rechtsseitigen Grenzwert näherst du dich von rechts her der \(2\), also ist \(x>2\) und es gilt der dritte Fall der Funktionsdefinition:$$\lim\limits_{x\searrow2}f(x)=\lim\limits_{x\searrow2}\left(\frac{x^6-25}{3(1-x)}\right)=\frac{64-25}{3(1-2)}=\frac{39}{-3}=-13$$