Also ich habe h(x) (g(x)= cos*h(x)) jetzt mithilfe des Standardskalarprodukts wie folgt umformuliert:
\( h(x)=\|f(x)\| 2^{2}=\langle f(x), f(x)\rangle=\sum i=1^{n} f_{i}(x)^{2} \)
Nun habe ich den Gradienten von h(x) mithilfe der partiellen Ableitung berechnet.
Daraus folgt dann:
\( \nabla h(x)=2 \sum \limits_{i=1}^{n} f_{i}(x) \nabla f_{i}(x) \)
Ich habe herausgefunden, dass sich dies auch durch die Jacobi-Matrix formulieren lässt. Es folgt demnach:
\( \nabla h(x)=2 J_{f}(x)^{T} f(x) \)
Jetzt habe ich für g(x) die Kettenregel angewendet:
\( \nabla g(x)=\cos (h(x)) \cdot \nabla h(x) \)
Letztendlich habe ich dann als Ergebnis für den Gradienten von g(x) folgendes raus:
\( \nabla g(x)=\cos \left(\|f(x)\|_{2}^{2}\right) \cdot 2 J_{f}(x)^{T} f(x) \)
Kann ich das so machen beziehungsweise ist das soweit richtig?