Zeigen Sie, dass die Funktion stetig differenzierbar ist und bestimmen sie den Gradienten

Question

Aufgabe

Es sei \( X \) eine offene Teilmenge von \( \mathbb{R}^{m} \) und \( f \in C^{1}\left(X, \mathbb{R}^{n}\right) \). Zeigen Sie, dass die Funktion
\( g: X \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\sin \left(\|f(x)\|_{2}^{2}\right) \)
stetig differenzierbar ist und bestimmen Sie den Gradienten grad \( g \). Formulieren Sie Ihre Lösung mit Hilfe des Standard-Skalarproduktes \( \langle x, y\rangle=\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \) für \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \).

Problem/Ansatz:

Hallöchen,

ich sitze diese Woche an dieser Aufgabe. Über Anregungen und Tipps würde ich mich wie immer sehr freuen :)

Comments

Wie immer freuen wir uns sehr, wenn Du sagst, was Du schon gemacht hast und auf welche konkreten Probleme Du gestossen bist.

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Also ich habe mir jetzt erstmal folgendes überlegt…..

Um zuerst die Differenzierbarkeit zu zeigen betrachten wir die Ableitung der Funktion. Da g eine Verkettung der quadratischen Norm und der Sinus Funktion ist, betrachten wir diese getrennt voneinander.

Ich würde sagen, beide sind jeweils stetig differenzierbar.

Die quadratische Norm ist differenzierbar, da f stetig differenzierbar ist und daher alle Komponenten der quadratischen Norm ebenfalls stetig differenzierbar sind.

Die Sinus Funktion ist aufgrund ihrer Ableitung ebenfalls stetig differenzierbar.

Da beide Komponenten stetig differenzierbar sind, ist also ganz g stetig differenzierbar.

Als Nächstes muss ich dann glaube ich den Gradienten berechnen und dessen Stetigkeit prüfen.

Kann man das erstmal so sagen/machen?

Answer 1

Na, siehste, da hast Du ja schon einiges.

Was heißt "quadratische Norm"? Bei Normen muss man mit Differenzierbarkeit stets vorsichtig sein, auch wenn sie quadriert sind. Die Ausnahme ist die 2-Norm (euklidische Norm) hier, die quadriert unproblematisch ist (daher auch gerne verwendet wird).

Du kannst also so wie Du es oben sagst argumentieren, aber ziele besser auf die konkrete Form ab (vermeide den Begriff "Norm", es sei denn mit eben erwähntem Zusatz). Du kannst hier ja g(x) komplett ohne Normen, Wurzeln, und Beträge schreiben. Und das musst Du auch, um die partiellen Ableitungen zu bestimmen. Kriegst Du das hin?

Comments

Also ich habe h(x) (g(x)= cos*h(x)) jetzt mithilfe des Standardskalarprodukts wie folgt umformuliert:

\( h(x)=\|f(x)\| 2^{2}=\langle f(x), f(x)\rangle=\sum i=1^{n} f_{i}(x)^{2} \)

Nun habe ich den Gradienten von h(x) mithilfe der partiellen Ableitung berechnet.

Daraus folgt dann:

\( \nabla h(x)=2 \sum \limits_{i=1}^{n} f_{i}(x) \nabla f_{i}(x) \)

Ich habe herausgefunden, dass sich dies auch durch die Jacobi-Matrix formulieren lässt. Es folgt demnach:

\( \nabla h(x)=2 J_{f}(x)^{T} f(x) \)

Jetzt habe ich für g(x) die Kettenregel angewendet:

\( \nabla g(x)=\cos (h(x)) \cdot \nabla h(x) \)

Letztendlich habe ich dann als Ergebnis für den Gradienten von g(x) folgendes raus:

\( \nabla g(x)=\cos \left(\|f(x)\|_{2}^{2}\right) \cdot 2 J_{f}(x)^{T} f(x) \)

Kann ich das so machen beziehungsweise ist das soweit richtig?

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Ja, das kommt so hin.

In der ersten Zeile sollte \(g(x)=\sin h(x)\) stehen.

Ob das jetzt reicht, wenn die Anforderung lautet, es mit dem Skalarprodukt zu formulieren, weiß ich aber auch nicht. Dann müsste man wohl die Lösung komponentenweise notieren, also \(\frac{\partial g}{\partial x_j}(x)=...\), ist dann aber nicht so übersichtlich wie Deine Lösung.