Question

Differenzierbarkeit impliziert Integrierbarkeit?

Eine Funktion, die in x0 differenzierbar ist, ist dort auch stetig. Das weiß ich. Aber was mit Integrierbarkeit?

Text erkannt:

Wenn eine Funktion \( f(x) \) auf \( [a, b] \) differenzierbar ist, was gilt dann für \( f(x) \) auf jeden Fall noch?
\( f(x) \) ist auf \( [a, b] \) integrierbar
\( \ f(x) \) ist auf \( [a, b] \) monoton
\( f(x) \) ist auf \( [a, b] \) stetig

Comments

Man kann eine Funktion als integrierbar zeigen, indem man beweist, dass das Riemann-Integral existiert. Das kann man tun, indem man die Funktion in eine endliche Anzahl von Teilintervallen teilt und dann die Summe der Flächen dieser Teilintervalle berechnet.

https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/integrierbarkeit

https://www.mathelounge.de/1002502/riemann-integrierbarkeit-zeigen-und-beweisen

Answer 1

Auf [a,b] stetige Funktionen sind stets auch dort integrierbar (aber nicht unbedingt monoton).

Answer 2

Aloha :)

Für Funktionen gilt:$$\text{differenzierbar}\implies\text{stetig}\implies\text{integrierbar}$$

Die erste und die dritte Antwort sind also zutreffend.

Aus der Differenzierbarkeit folgt nicht, dass die Ableitung für alle Punkte im Intervall \([a;b]\) größer gleich Null (monoton wachsend) oder kleiner gleich Null (monoton fallend) ist. Daher kann aus der Differenzierbarkeit alleine keine Aussage über die Montonie getroffen werden.

Ich habe allerdings ein Problem mit der Voraussetzung, dass die Funktion \(f\) im Intervall \([a;b]\) differenzierbar ist, denn an den Rändern eines geschlossenen Intervalls gibt es nur einen einseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten, Die Funktion kann also nur auf dem Intervall \((a;b)\) differenzierbar sein... Aber das nimmt man wohl heute bei den Aufgabenstellenden nicht mehr so genau ;)