Exponentieller Wachstum: Löse diese Grundaufgaben zur Zinsrechnung

Question

1. Gegeben: Anfangskapital \( K(0)=10000 .- \), Zinsfuss: \( p=2 \% \)
Gesucht: Kapital nach \( t=10 \) Jahren \( K(10)=? \) \( r=1+2 / 100=1.02 \Rightarrow K(10)=10000 \cdot 1.02^{10}=12190 .- \)

2. Gegeben: Kapital nach \( t=5 \) Jahren \( K(5)=10000 .- \), Zinsfuss: \( p=3 \% \)
Gesucht: Anfangskapital \( K(0)=? \)
\( r=1+3 / 100=1.03 \Rightarrow 10000=K(0) \cdot 1.03^{5} \Rightarrow K(0)=\frac{10000}{1.03^{5}}=8626 .- \)

3. Gegeben: Anfangskapital \( K(0)=6000 .- \), Kapital nach \( t=5 \) Jahren \( K(5)=7300 \).
Gesucht: Zinsfuss pro Jahr \( p= \) ?
\( 7300=6000 \cdot r^{5} \Rightarrow r^{5}=\frac{7300}{6000} \Rightarrow r=\sqrt[5]{\frac{7300}{6000}}=1.04 \Rightarrow p=4 \% \)

4. Gegeben: Anfangskapital \( K(0)=50000 .- \), Zinsfuss \( p=2.5 \% \) Kapital nach \( t=? \) Jahren \( K(t)=81930 .- \)
Gesucht: Anlagedauer \( t=? \)
\( r=1+2.5 / 100=1.025 \Rightarrow 81930=50000 \cdot r^{t} \Rightarrow r^{t}=\frac{81930}{50000}=1.6386 \)

Wenn die Logarithmenrechnung noch nicht bekannt ist, muss die gesuchte Zeit durch Probieren bestimmt werden:

\( t=10: 1.025^{10}=1.2801 \\ t=15: 1.025^{15}=1.4483 \\ t=20: 1.025^{20}=1.6386 \)

Also beträgt die Anlagedauer 20 Jahre.

Answer 1

Was verstehst du bei Aufgabe 1 z.B. nicht ?

K0 = 10000
p = 2% = 2/100 = 0.02
t  = 10

K10 = K0 * (1 + p)^t = 10000 * (1 + 0.02)^10 = 12189.94


Es gelten immer die Formeln

Kt = K0 * (1 + p)^t

K0 = Kt / (1 + p)^t

p = (Kt / K0)^{1/t} - 1

t = LN(Kt / K0) / LN(1 + p)

Dabei solltest du die erste Formel auswendig wissen und die anderen Formeln herleiten können.